基本介紹
- 中文名：真近點角
- 外文名：trueanomaly
簡介,從狀態向量計算,其他關係,三種近點角的關係,研究現狀,橢圓軌道真近點角的級數計算,
簡介
真近點角（{\displaystyle T\,\!}，也可以寫成{\displaystyle \nu \ }）在天文學是軌道平面上，衛星與近地點之間的橢球焦點角距，如圖中的角z-s-p。
真近點角指天體從近地點起沿軌道運動時其向徑掃過的角度，（一般用v表示）是某一時刻軌道近地點到衛星位置矢量R的夾角。真近點決定了衛星在軌道中的具體位置。
從狀態向量計算
橢圓軌道的真近點角{\displaystyle T\,\!}可以從軌道狀態向量]]計算如下：
- {\displaystyle T=\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}（如果{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} <0}，然後以2π−T取代T）
此處：
- {\displaystyle \mathbf {v} \,}是軌道上天體的軌道速度向量，
- {\displaystyle \mathbf {e} \,}是離心率向量，
- {\displaystyle \mathbf {r} \,}是軌道上天體的軌道位置向量（線段sp）
- ----
對圓軌道可以簡化成：
- {\displaystyle T=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}（如果{\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {v} >0}，然後以2π−T取代T)
此處：
- {\displaystyle \mathbf {n} }是指向升交點的位置向量（也就是z-分量{\displaystyle \mathbf {n} }為0）。
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如果圓軌道的軌道角也是0，還可以再簡化成：
- {\displaystyle T=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}（如果{\displaystyle v_{x}\ >0}，然後以2π−T取代T)
此處：
- {\displaystyle r_{x}\,}是軌道位置向量的x-分量{\displaystyle \mathbf {r} }，
- {\displaystyle v_{x}\,}是軌道速度向量的x-分量{\displaystyle \mathbf {v} }。
其他關係
對偏近點角，T和E的關係是：
- {\displaystyle \cos {T}={{\cos {E}-e} \over {1-e\cdot \cos {E}}},\,}
或相等於
- {\displaystyle \tan {T \over 2}={\sqrt {{1+e} \over {1-e}}}\tan {E \over 2}}。
半徑（位置向量的大小）和近點角的關係是：
- {\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)\,\!}
和
- {\displaystyle r=a{(1-e^{2}) \over (1+e\cdot \cos {T})}\,\!}
此處a是軌道的半長軸（線段cz）。注意z是用來測量半長軸的兩個點之一的近拱點（軌道上天體最靠近焦點的點，或橢圓上離中心最遠的點），另一個點是遠拱點（距離同一個焦點最遠，並且與近拱點相距180度）。
三種近點角的關係
如圖所示，O為橢圓的一個焦點（地球質心），S為衛星在軌道上的位置，r為衛星向徑，N為升交點，f為真近
點角，P為近地點。以橢圓中心為圓心，橢圓長半徑a為半徑的輔助圓，且過S作x軸的垂線交於H，延長SH交輔助圓於S，連線S'，E為x軸與O'S‘夾角，即偏近點角。
真近點角和偏近點角幾何關係
真近點角和偏近點角幾何關係由圖可知向徑r的坐標為：
式中，e為橢圓軌道的第一偏心率。
可得由偏近點角E計算真近點角f的公式為：
又可解得由真近點角f計算偏近點角E的公式為：
平近點角M與偏近點角E之間的幾何關係則由克卜勒方程所決定：
研究現狀
我國衛星已進入快速發展階段，取得了舉世矚目的成就。衛星的運動雖然比較複雜，但其基礎是二體問題。二體問題中引入了各種不同的近點角（平近點角、偏近點角、真近點角）的定義，在衛星星曆計算、太空飛行器軌道確定時，經常遇到它們之間的變換問題。偏近點角和平近點角之間的變換即經典的Kepler方程解算是解決這一問題的關鍵。總的來看，Kepler方程的解法主要有疊代法和直接法兩種。隨著空間技術和計算機技術在衛星星曆計算中的套用和發展，研究各近點角之間的關係具有更加重要的實用價值。對於這一問題，國內外許多學者進行了深人研究。顧曉勤對真近點角超越方程，用級數展開方法直接得到疊代算法，求出真近點角與時間的關係。Peter給出了基於Bessel函式的Kepler方程級數解法，Jan給出了Kepler方程直接解的四元素表示。
高端陽等對近點角間的差異進行了研究，推導出近點角間的差異極值點及其對應極值的表達式，並將其表示為關於偏心率e的冪級數形式。最後以偏心率e=0.01、e=0.1或e=0.2為例，對它們進行了數值分析和對比，得出結論：
（1）近點角間的差異存在極值情況，且極大值與極小值的絕對值相等。
（2）近點角間的差異極值的絕對值跟偏心率e的大小有關，隨著偏心率e的增大，近點角間的差異極值的絕對值也隨著增大。
（3）將近點角間差異極值點及對應極值表示為符號形式，並統一展開為偏心率e的冪級數形式，該表達式易於比較分析，一定程度上豐富了衛星運動分析理論。
橢圓軌道真近點角的級數計算
在太空飛行器Kepler軌道運動中，一般情況下時間積分不能導出解析形式的原函式。為求橢圓軌道運動周期，引入偏近點角，由變數替代得到以時間為自變數的偏近點角函式超越方程.在確定太空飛行器任意時刻位置時，往往藉助於計算機數值模擬計算。有文獻討論了太空飛行器小偏心率橢圓軌道運動。顧曉勤等用級數展開方法直接得到真近點角超越方程，由疊代法求真近點角與時間的關係，討論疊代收斂的充分條件，對小偏心率橢圓軌道列寫真近點角近似方程並求解對於不滿足疊代收斂充分條件情形。還列寫了偏近點角超越方程，用疊代法求出偏近點角，由數值積分方法求出真近點角與時間的關係，指出所有橢圓軌道都滿足偏近點角疊代收斂的充分條件，數值模擬結果表明該方法的有效性。
