皮卡概形

皮卡概形是與射影光滑代數簇相關聯的一個群概形。皮卡概形是光滑代數簇X的皮卡簇。

基本介紹

• 中文名：皮卡概形
• 外文名：Picard scheme
• 適用範圍：數理科學

簡介

皮卡概形是光滑代數簇X的皮卡簇𝕭(X)的概念在概形理論框架內的自然推廣。

為了對任意的S概形X定義皮卡概形。先要考慮概形S上的概形的範疇Sch/S里的相對皮卡函子（relative Picard functor）。這個函子在S概形S'上的值是一個群

這裡是基變換態射，是在嚴格平坦擬緊態射的格羅滕迪克拓撲里與預層

相關聯的層，表示標準的乘法群層。如果皮卡函子是在Sch/S上可表示的，則表示它的 S 概形被稱為 S 概形的相對皮卡概形（relative Picard scheme），記為。如果 X 是某個域 k 上的代數概形，k有一個有理k點，則對任意 k 概形 S'有

特別地，X/k(k)=Pic(X)可被等同於的 k 有理點的群（如果這個群存在的話）。

性質

如果f ：X → S是具有幾何整纖維的射影態射，則概形存在而且是局部有限可表示的可分群S概形。

如果S=Spec(k)，則的單位連通分支是一個代數 k 概形，而且對應的約化 k 概形正式皮卡簇。概形的局部環里的冪零元給出了皮卡概形的許多附加的信息，而且能解釋在特徵數 p>0 的域上的代數幾何里的各種“病態”。另一方面，在特徵數0定域上概形總是約化的。當 F 是光滑代數曲面且時已經知道是一種約化概形。

對任何有的真平坦態射f ：X → S（當基S為諾特時，它是有限可表示的），函子對於任何基變換態射是 S 上的代數空間。特別地，當基域 S 是局部阿廷環的譜時，函子是可表示的。