瑞利-里茲法(瑞利-里茲法)

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也稱為里茲法,是通過泛函駐值條件求未知函式的一種近似方法。英國的瑞利於1877年在《聲學理論》一書中首先採用,後由瑞士的W.里茲於1908年作為一個有效方法提出。這一方法在許多力學、物理學、量子化學問題中得到套用。

同時它也是廣泛套用於套用數學和機械工程領域的經典數值方法,它可以用來計算結構的低階自然頻率。它是直接變分法的一種,以最小勢能原理為理論基礎。通過選擇一個試函式來逼近問題的精確解,將試函式代入某個科學問題的泛函中,然後對泛函求駐值,以確定試函式中的待定參數,從而獲得問題的近似解。

基本介紹

  • 中文名:瑞利-里茲法
  • 外文名:Rayleigh-Ritzmethod
  • 別稱:里茲法
  • 發明時間:1877年
  • 發明人:瑞利
原理:,套用:,與伽遼金法的區別:,

原理:

此法假定待求函式f(x)為n個已知函式 Wi(x)的線性組合:
瑞利-里茲法
式中αi為未知常係數。通過由f(x)組成的泛函嗘
[f(x)]取駐值的條件(駐值條件對應於已知的物理定律或定理)得到n個方程,
瑞利-里茲法
由此解出n個未知常係數αi,從而得到f(x)。這一理論還可推廣到多維問題。
在求解彈性體位移時,先假定彈性體內沿x、y、z方向的位移uvw分別由一系列已知的滿足彈性體全部位移邊界條件的連續函式uixyz)、vixyz)、wixyz)(i=1,2,…,n)疊加而成,即
瑞利-里茲法
式中Ai、Bi、Ci為待求係數,共3n個。將u、v、w代入作為泛函的總勢能Π的表達式,根據彈性學最小勢能原理,總勢能變分為零,即有駐值條件:
瑞利-里茲法
這是關於3n個待求係數Ai、Bi、Ci的3n個代數方程。解出3n個未知係數便得到全部位移。通過對位移進行微商並利用應力-應變關係就得到應力。由於瑞利-里茲法假設的位移函式u、v、w可以不滿足力的邊界條件,所以位移函式的構成比較容易,計算也比較方便,但有時求出的應力誤差較大。
在振動問題中,如果將物體的可能位移表達為若干給定的位移的線性組合,而以瑞利商(見瑞利原理)作為位移的泛函,則利用瑞利商取駐值時條件,就可求出物體振動的固有頻率的近似值。

套用:

在機械工程領域,它被用於計算多自由度系統(如彈簧-質量系統、變截面軸上的飛輪)大致的共振頻率;還可以計算圓柱體的折斷載荷。瑞利-里茲法是瑞利法的擴展。
以下的討論舉一個最簡單的例子(2個集中彈簧和2個集中質量,並只考慮2個模態振型)。因此 M = [m1, m2] 且 K = [k1, k2].
為該系統假設一個由兩項組成的模態振型,其中一個用因數 B加權。例如Y = [1, 1] + B[1, –1]。
簡諧運動理論認為撓度等於0時的速率為角頻率ω乘以最大撓度(y)。本例中,每個質量的動能(KE)等於
等等,而每個彈簧的勢能(PE)等於1/2k1Y1^2等等。對於連續系統,該表達式要麻煩得多。
瑞利-里茲法(瑞利-里茲法)
因為引入了無阻尼假設,因此整個系統當y=0時的KE等於v=0時的PE。由於不存在阻尼,系統各點同時達到v=0的狀態。
因此,由KE = PE得:
注意模態振型的實際振幅總會從兩邊消去。也就是說,假設撓度的真正數值並不重要。我們在意的是振型。
瑞利-里茲法(瑞利-里茲法)
由於ω與B有關,為了找到最小的ω,我們令dω / dB = 0。此時的B的取值可以使得ω最小。由於振型是假設的,通過該方法得到的ω是需要預測的基頻的上界。我們需要得到的是這個上界的最小值。
該方法有很多技巧,最重要的是試圖找到儘量真實的假設振型。例如在梁的撓曲問題中,使用一個儘量接近真實解得變形模態是明智的。對於大部分簡單的梁連線問題,即使振型的階次很低,一個四次的函式就足夠了。彈簧和質量並不必離散,它們可以使連續的或者是雜糅的。只要能夠描述分散式的KE和PE,或把連續的單元離散,該方法可以很容易編程來找到複雜分散式系統的自然頻率。
該方法可以反覆疊代使用,把附加的模態振型疊加到先前的最佳解上。也可以建立一個用許多參數B和振型組合的長表達式,最後對它們求偏導。
在振動問題中,如果將物體的可能位移表達為若干給定的位移的線性組合,而以瑞利商(見瑞利原理)作為位移的泛函,則利用瑞利商取駐值的條件,就可求出物體振動的固有頻率的近似值。

與伽遼金法的區別:

里茲法本質是基於最小能量原理的,而伽遼金是一種加權餘量法,只是當我們取權函式為形函式時(權函式可以很多取法,比如最小二乘什麼之類的),這個時候兩者是等效的。
所以兩者雖然在某個特定的條件是等效的(注意一般是用“等效”,而少用相同),但是本質是思路是不同的。
里茲法本質上和現在我們用的常用的很多有限元法是一樣的,區別在於里茲法是基於全域的,而有限元是基於單元假設形函式的。很顯然,基於全域的話形函式是非常難的,除非非常簡單的形狀,這也是為什麼里茲法不能普遍的解決問題,因為它沒有利用離散(離散就形函式簡單,可以利用計算機的數值計算能力)。

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