狄拜方程式

狄拜方程式（Debye equation）也叫德拜函式*（Debye function）是彼得·狄拜（Peter Debye）於1912年估算聲子對固體的比熱的狄拜模型時創立的函式，是一類特殊函式。

基本介紹

• 中文名：狄拜方程式
• 外文名：Debye equation
• 別稱：德拜函式
• 發明者：彼得·狄拜

數學定義

定義如下：

展開式

其中 是伯努利數。

其中 是m階多重對數。

漸近式

對於

對於 ：

圖1 德拜函式

相關函式

也有將德拜函式定義為：

相關理論

德拜

德拜( Peter Joseph Wilhelm Debye,1884~1966)美國物理學家，原籍荷蘭。慕尼黑大學哲學博士。曾任烏得勒支大學、格廷根大學、蘇黎世國立工業大學、菜比錫大學、康奈爾大學教授。提出固體比熱理論,得到理論和隨固體而異的德拜溫度。1916年與瑞士物理學家謝樂(Paul Scherrer,1890~)合作創立晶體粉末的X射線衍射法(德拜-謝樂法)，用於研究晶體的結構。還提出關於強電解質溶液的理論、高分子溶液理論、光的散射理論、粘度理論等，指出用絕熱去磁法可獲得極低的低溫。因他提出極化分子理論和對測定分子結構所作的貢獻，獲1936年諾貝爾化學獎。著有《極性分子》等。

德拜模型

愛因斯坦把N個原子的晶格振動歸結為3N個獨立的諧振動，這些諧振動的圓頻率ω相同，這種模型過於簡單。實際上，晶格原子之間有不可急略的相互作用，不是彼此獨立，原子作非常複雜的耦合振動。德拜理論認為，原子的振動在固體中形成駐波，駐波的圓頻率為，某個原子的振動是這些駐波在該原子處引起的振動的合成。圓頻率為。的駐波的能量與個諧振子的能量相同。

根據上式，這種駐波的平均能量為

這樣，包含N個原子的固體，其晶格振動的總能量為

根據此式,如果已知駐波的圓頻率，則可算出晶格振動的總能量U。從形式上看，這似乎已經解決了問題，但這樣一來理論的待定參數就有3N個之多，實際上沒有意義。德拜提出的頻譜分布解決了這個問題。

德拜頻譜

參照輻射空腔內電磁駐波的情形，固體中彈性駐波的圓頻率雖然取分立值，但也很密集，在定量計算時也可當作連續變數處理。設圓頻率在內的駐波數目為，應有

式中第一項是彈性駐波中圓頻率在內的橫波數目，和電磁駐波的情形完全相同，其中是固體中橫波波速。固體中除了橫波外還可以有彈性縱波，式中第二項就是關於縱波的。縱波只有一個振動方向，不像橫波有兩個獨立的振動方向，所以縱波數目比橫波少一半。式中是縱波波速，是給定固體塊體積。

上式對積分應當給出駐波數目3N，積分上限取為顯然不合適，德拜引入一最高圓頻率，使得

積分後可求得

可改寫成

這就是德拜頻譜。它表示圓頻率在內的駐波數目。式中N是給定固體塊中的原子數，叫德拜頻率，是德拜理論中的待定參量。通常用德拜溫度的形式來表示它，即，令

叫德拜溫度，可以由彈性波在固體中的傳播速度和通過公式式而求得，也可以由熱容量的實驗數據確定。兩種方法給出的的數值相差不多。德拜溫度已成為固體的一個特性常數。下圖列出了一些物質的的數值，是由熱容量實驗定出的。