熵率

熵的概念是由資訊理論的創始人申農(Shannon)提出的，在統計學中用它作為隨機事件不確定程度的一種度量，描述給定長度為n的隨機變數序列的熵隨n的增長情況。

基本介紹

• 中文名：熵率
• 外文名：Entropy rate
• 所屬學科：數學
• 研究對象：隨機變數序列
• 意義：對隨機事件不確定程度的一種度量

基本介紹

定義

如果給定一個長度為n的隨機變數序列，我們自然會問：該序列的熵隨n如何增長?下面定義這個增長率，我們稱為熵率。

當如下極限存在時，隨機過程 的熵率定義為

舉例說明

下面考慮幾個簡單的隨機過程例子及其相應的熵率。

1．打字機。假定一台打字機可輸出m個等可能的字母。由此打字機可產生長度為n的個序列，並且都等可能出現。因此， ，熵率為 比特/字元。隨機過程的熵率43符。

2．i.i.d. 隨機變數序列 。此時，有

這正是我們所期望的每字元的熵率。

3．獨立但非同分布的隨機變數序列。在此情形下，有

但 不全相等。我們可以選擇 的一個分布序列，使 的極限不存在。例如取二值隨機分布序列，其中 不是常數，而為i的函式。通過細心選取 匕糾可使得式 的極限不存在。例如，對 取

此時，該序列的情況是，滿足 的隨機變數序列(可以任意長)之後，緊接著是更長以指數變化的序列滿足 。所以， 的累積平均值將在0與1之間振盪，從而不存在極限。因此，該過程的無定義。

我們也可以定義熵率的一個相關的量(如果下列極限存在)：

和這兩個量反映了熵率概念的兩個不同方面。第一個量指的是n個隨機變數的每字元熵，而第二個量指在已知前面n-1隨機變數的情況下最後一個隨機變數的條件熵。

重要定理

定理1

對於平穩隨機過程，式和式中的極限均存在且相等：

=

我們先來證明存在。

定理2

對於平穩隨機過程，隨n遞減且存在極限。

證明：

其中的不等式由條件作用使熵減小這個性質得到，而等式由該過程的平穩性得到。由於是非負且遞減的數列，故其極限存在。

接下來使用數學分析中的一個如下簡單結論。

定理3

均值：若，且，則。

證明：(非正式思路)由於序列中的大部分項最終趨於a，那么，是的前n項的平均，也將最終趨於a。正式證明閱參考資料。

定理1的證明 由鏈式法則

也就是說，熵率為條件熵的時間平均。然而，我們已經知道條件熵趨於極限H'，因此，由定理3可知，條件熵的累積平均存在極限，且此極限就是其通項的極限H'。於是，由定理2，

研究隨機過程熵率的重要意義體現在平穩遍歷過程的AEP。

對任何平穩過程，熵率均有恰當的定義。而對於馬爾可夫鏈，計算熵率尤為容易。

馬爾可夫鏈對於平穩的馬爾可夫鏈，熵率為

==其中的條件熵可根據給出的平穩分布計算得到。注意到，平穩分布為下列方程組的解：

其中為任意值。

定理4

設為平穩馬爾可夫鏈，其平穩分布為，轉移矩陣為P。則熵率為

證明：。