準範數

準範數(paranorm)是範數的又一種推廣。準範數是定義在線性空間X上，並且滿足一定條件的實值函式。賦范線性空間一定是賦準范線性空間。

基本介紹

• 中文名：準範數
• 外文名：paranorm
• 本質：定義於線性空間上的實值函式
• 相關概念：賦準范線性空間
• 套用領域：泛函分析

定義

定義1 設X為線性空間（是數），定義於X上的 滿足：

（1）若且唯若

（2）

（3）

（4）

則稱為X上的一個準範數（有時也稱為擬範數），稱X為賦準范線性空間（或賦擬范線性空間，簡稱賦準范空間）。

註：賦準范線性空間是一個具有平移不變距離的距離線性空間，其距離由

決定。

舉例

例1 設s={x | x={x_n} } 是數列空間，對x∈s，規定

則 是s上的一個準範數。

例2 設是[a,b]中無限次可微的函式全體，對，規定

則是上的一個準範數。

例3 設是測度空間，E是可測集，，S是E上可測函式全體，其中幾乎處處相等的函式視為S中同一個點，對f∈S，規定

則是S上的一個準範數。

拓展

範數

在準範數的基礎上，加強條件得到範數的定義。

定義2 設X為線性空間，定義於X上的滿足：

（1）若且唯若

（2）

（3）

則稱為X上的範數，稱X為賦范線性空間。

註：顯然，賦范線性空間是賦準范線性空間。

Frechet空間

定義3 完備的賦準范線性空間稱為Frechet空間。

不難驗證，上面例1、例2、例3中的空間均為Frechet空間。