流體運動學

流體力學的一個分支,僅研究流體運動的幾何性質,而不涉及力的具體作用。

基本介紹

  • 中文名:流體運動學
  • 外文名:fluid kinematics
  • 作用:研究流體運動的幾何性質
  • 隸屬:流體力學
流動的分析描述,流動的幾何描述,流動的分析,流動的分類,渦旋的運動學性質,連續性方程和流函式,無旋運動和速度勢,

流動的分析描述

在流體力學中描寫運動的方法有兩種,即拉格朗日方法和歐拉方法。拉格朗日方法著眼於流體質點(見連續介質假設),設法描述每個流體質點的位置隨時間變化的規律。通常利用初始時刻流體質點的直角坐標或曲線坐標a、b、c作為區分不同流體質點的標誌。流體質點運動規律可表示成方程(1)的形式:
其中
是流體質點的矢徑;t為時間;變數a、b、c、t統稱為拉格朗日變數。對時間 t求式(1)的一次偏導數和二次偏導數,可分別得到流體質點的速度矢量相加速度矢量。歐拉方法著眼於空間點,設法在空間的每一點上描述出流體運動隨時間的變化狀況。通常用速度矢量v表示流體運動。於是歐拉方法中流體質點的運動規律可表為下式:
變數
稱為歐拉變數。式(2)確定的速度函式是定義在時間t和空間點上的,所以它是場。由式(2),可按下式求出加速度(見隨體導數):
雖然拉格朗日方法和歐拉方法都能描述流體的運動,但在流體力學中,人們廣泛採用歐拉方法,較少採用拉格朗日方法,這是因為用歐拉變數得到的是場,可以運用研究得很充分的場論知識;而在拉格朗日方法中,由於式(1)不是場,所以無此優點。其次,在歐拉方法中,由於加速度是一階導數,所以運動方程組是一階偏微分方程組,它比拉格朗日方法中的二階偏微分方程組容易處理。

流動的幾何描述

在拉格朗日方法中,流體質點運動規律的幾何表示是跡線。在歐拉方法中,則利用流線幾何地描述流體的運動。在非定常運動中,流線和跡線一般是不重合的;而在定常運動中,兩者必然重合(見流線)。

流動的分析

流體運動要比剛體運動複雜,因為它除了平動和轉動外,還要發生變形。流體微團運動分析的主要內容包含在亥姆霍茲速度分解定理中。

流動的分類

運動形式——無旋運動和有旋運動
以運動形式為標準,流體運動可分為無旋運動和有旋運動。若在整個流場中▽×v=0,則稱此運動為無旋運動,反之稱為有旋運動。
時間為標準——定常運動和非定常運動
以時間為標準,流體運動可分為定常運動和非定常運動。若所有物理量皆不依賴於時間t,則稱此運動為定常運動,反之稱為非定常運動。
空間標準——一維運動、二維運動和三維運動
以空間為標準,根據有關物理量依賴於一個曲線坐標、二個曲線坐標和三個曲線坐標,流體運動可分為一維
運動、二維運動和三維運動。平面運動和軸對稱運動是二維運動的兩個重要例子。在直角坐標系Oxyz中,滿
的流動稱為平面運動,其中w是速度矢量在z軸的分量。在柱坐標系(r,φ,z)中滿足
,或球坐標系(r,φ,θ)中滿足的流動稱為軸對稱運動,其中vφ是速度矢量在φ軸的分量。

渦旋的運動學性質

渦管的運動學性質為:渦通量在渦管所有橫截面上都等於同一常數,稱之為渦管的強度。渦管不能在流體內產生或終止,如果它不以渦環的形式存在,就只能延伸到邊界上。
區域中有渦和源的分布,就會誘導出速度場。知道渦旋場和散度場求速度場的問題歸結為解方程(3):
▽·v=Θ,▽×v=Ω, (3)
式中Θ和Ω是區域內給定的源和渦的強度分布函式。其解為:
式中
;
ξ、η、ζ是變動點坐標。

連續性方程和流函式

連續性方程是質量守恆定律的數學表達式,它的一般形式為(見流體力學基本方程組):
對於定常運動和不可壓縮流體,連續性方程可簡化為:
式中v=0和v=1分別對應不可壓縮流體和定常運動。對於平面和軸對稱運動,由連續性方程推出,存在著流函式Ψ,使
, (平面運動)
(軸對稱運動)
式中u、v,vx、vr分別是速度矢量在直角坐標(x,y,z)和柱坐標(r,φ,z)中的分量。

無旋運動和速度勢

根據運動的無旋性▽×v=0推出存在著速度勢Φ,使v=▽Φ。在不可壓縮流體情形,速度勢滿足拉普拉斯方程(見拉普拉斯無旋運動,速度勢)。

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