泛界

泛界(universal bound)是序與格的基本概念之一。若偏序集P含有一個元素a，使對任意x∈P均有a≤x，則稱a為P的最小元，用0表示。對偶地，即把關係≤換為≥時，可定義P的最大元，並用1記之。稱0與1(若它們存在)為偏序集P的泛界。

基本介紹

• 中文名：泛界
• 外文名：universal bound
• 領域：數學
• 學科：序與格
• 對象：偏序集
• 組成：最小元、最大元

概念

泛界(universal bound)是序與格的基本概念之一。若偏序集P含有一個元素a，使對任意x∈P均有a≤x，則稱a為P的最小元，用0表示。對偶地，即把關係≤換為≥時，可定義P的最大元，並用1記之。稱0與1(若它們存在)為偏序集P的泛界。對一切x∈P，由於0≤x≤1，所以有泛界0和1的偏序集稱為有界的。有限全序集是有界偏序集。

偏序集

設A是一個集合，若在A記憶體在一個關係“≤”，它滿足：

①反身性 對於任何a∈A，有a≤a；

②反對稱性 對於a，b∈A，若a≤b，且b≤a，則a=b；

③傳遞性 對於a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，則a≤c。

則稱“≤”是集合A的一個偏序關係，也稱作半有序關係。

如果a≤b，就叫做a不在b的後面，或b不在a的前面。

在一個集合A內，如果建立了一個偏序關係≤，就稱集合A對於關係≤成為一個偏序集，也稱作半有序集。記作(A，≤)。

由上述定義可知，偏序集就是一個集合A加上一個偏序關係≤。

例如，實數集R對於關係“≤”構成偏序集(R，≤)。

再如，設I是一個全集，冪集P(I)對於關係“⊂”是一個偏序關係，(P(I)，⊂)是一個偏序集。值得注意的是，當A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ時，A⊂B和B⊂A都不成立，但這不要緊，因為定義中不要求對於A中的任意兩個元素a和b，a≤b或b≤a必有一個成立，這就是說，它只要求這種順序關係≤在部分元素中成立。

全序集

設(A，≤)是偏序集，如果(A，≤)中的關係≤滿足條件：對於任意的a，b∈A，a≤b或b≤a至少有一個成立，那么就稱關係≤為序關係，稱A為在這個關係下的全序集(也稱有序集)。

若兩個全序集的元素相同，並且序關係也相同，則稱這兩個全序集是相同的。即

(A₁，≤₁)=(A₂，≤₂)⇔A₁=A₂且≤₁=≤₂

當用列舉法表示全序集時，通常規定從左到右表示元素的順序。例如，設N為自然數集，關係≤為平常的數的小於或等於關係，則全序集(N₁，≤)表示為{1，2，3，…}；若序關係≤定義為：

則全序集(N，≤*)表示為{…，3，2，1}。

格論

格論論述次序及包含的性質，是布爾代數的推廣，現已成為代數的重要組成部分，並在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計算機科學、圖論等方面有廣泛的套用。所謂格即指在集合L中定義兩個代數運算∨和∧，這兩個代數運算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律)；(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律)；(3)a ∨交換律；(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結合律)；(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關係。格的種類有分配格、模格、完全格等。

格

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。

格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。

格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

子集在L中有上確界和下確界的偏序集，就是格。

h代數格 在L定義二元運算*和·，滿足：對"a,b,cÎL,有

(1) 交換律 a*b=b*a，a·b=b·a

(2)結合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)

(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a

則稱(L，*，·)是代數格。