正星形多角形(regular star polygon)亦稱等邊半正凹多角形或等邊半正凹多邊形，是一種特殊的凹多角形，指頂點個數為偶數，所有邊都相等，且相間的角相等的凹多角形，正星形多角形的2n個角中，有n個相等的優角，另外n個角必是相等的銳角，整個圖形成為星形，因此，正星形2n角形也稱為n角星，最常見的正五角星也就是正星形十角形。
基本介紹
- 中文名：正星形多角形
- 外文名：regular star polygon
- 所屬學科：數學（平面幾何）
- 別稱：等邊半正凹多角（邊）形
- 簡介：一種特殊的凹多角形
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基本概念
引用線段相等及角相等的概念，能夠區分三角形及多角形的一些特殊類型。
有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，第三邊叫做等腰三角形的底。
三邊都等的三角形叫做等邊三角形。
凸多角形，若它的所有邊都等，且所有角都等，則叫做正多角形。
同樣，局部凸的星形多角形，若它的所有邊都等且所有角都等，則叫做正星形多角形，正五角星形可以作為一個例子。
正多角形的概念可作如下的推廣。
邊數為偶數的凸多角形，假若其中相間的邊相等且所有角都等，則叫做等角半正多角形(圖1所示的六角形就是一個例子)。
邊數為偶數的局部凸的星形多角形，若其中相問的邊相等且所有角都等，則叫做等角半正星形多角形(例如圖2的八角形)。
同樣，凸的或星形的等邊半正多角形，可以被定義如下：頂點數必須是偶數，所有邊都等，相間的角相等；這時若是星形多角形還要假定它是局部凸的(例如，圖3的六角形、圖4的十角形)。
正多邊形
由正折線所構成的多邊形叫做正多邊形。正多邊形的所有邊相等，所有角相等。正多邊形是凸的叫做凸正多邊形；如果是局部凸的，則稱正星形多角形。
例如，圖5的多邊形是凸正五邊形；圖6的也是正五邊形，但不是凸的，而是局部凸的，叫做正五角星形。
相關性質定理
凸多角形
凹多角形N角（邊）形中除了一個頂點和其相鄰的2個頂點以外，還有(n-3)個頂點。因此n角形共有n×(n-3) 條線。而其中，對角線的條數為1/2n(n-3)。
由多角形一個頂點引出的兩條邊組成的在內部的角，叫作這個多角形的內角。由一邊和其相鄰的邊的延長線組成的角叫作外角。
內角與外角N角形中，由一個頂點出發，被(n-3)條對角線劃分出來的三角形個數是(n-2)個。那么可以得出n角形的內角和是180°×(n-2)。
N角形的外角和可以按照如下方法求。各頂點的內角+外角=180°，因此內角的和+外角的和=180°×n，也就是180°×(n-2)+外角的和=180°×n。因此可以得出n角形的外角和是360°。
在凹多角形中，凹陷部分的頂點也有內角+外角= 180°的性質。因為內角比180°大，所以外角的度數為負。因此包含負值的外角和也是360°。
正多角形所有內角大小相等，所以它們的內角與外角大小如下面的等式所示。
(正n角形的一個內角) =
;
(正n角形的一個外角)=
。
定理1 任意(凸的或星形的)正多角形或等角半正多角形可有一外接圓。
圖7證明假設A，B，C，D是所研究的多角形的四個相連續的頂點(圖7)，O為三角形ABC的外接圓心。
三角形ABC與DCB相等(AB = DC，BC = CB，∠ABC=∠DCB)，因而三角形ABC的外接圓半徑OA = OB = OC，與三角形DCB的外接圓半徑相等。其次，二外接圓的圓心都線上段BC的垂直平分線上。最後，二圓心在直線BC的同側，因為A和D二點在該直線的同側(由於凸的或局部凸的多角形)。由此推得，圓周ABC與BCD的圓心重合。
可見通過三頂點A，B，C的圓周必通過點D，按照同樣的考察方法可知該圓周也通過其餘的頂點。
定理2 任意(凸的或星形的)正多角形或等邊半正多角形可有一內切圓。
證明假設AB，BC，CD和DE(圖8)為一正多角形或等邊半正多角形相連續的四邊，K為直線AB和CD的交點，L為直線BC和DE的交點(如果相間而取的二邊，如AB與CD平行，則邊BC與DE亦將平行(因為這個多角形相間而取的角應相等)，點E與點A重合，我們便得一個菱形，對它來說，這定理也是正確的)。
圖8三角形BCK和DCL相等(BC = DC，∠KBC =∠LDC，∠KCB =∠LCD)，所以三角形BCK的邊BC外的旁切圓半徑等於三角形DCL的對應的旁切圓半徑，因為該二圓心在∠BCD的平分線CX上，所以該二圓心重合，因而兩圓周重合。
這樣就得到了與射線BA，DE以及與邊BC，CD相切的圓周，對於BC，CD，DE各邊以及次一邊EF重複同樣的論述時，我們相信，該圓周與邊DE及射線EF相切，等。
定理1及2系1正多角形的外接圓心及內切圓心重合。
事實上，在這種情形下三角形OAB，OBC及OCD相等，因而外接圓心到各邊的距離相等。
系2等角半正多角形，相間而取的邊與同一圓周相切，這樣就得到兩個圓周，它們的圓心與外接圓心重合。
事實上，在圖7上，三角形OAB與OCD相等，所以相間而取的邊到外接圓心的距離相等。
系3等邊半正多角形，相間而取的頂點在同一圓周上，這樣就得到兩個圓周，它們的圓心與內切圓心重合。
事實上，在圖8上有OA=OC=OE，OB=OD。
