正折線

正折線(positive broken line)是一種特殊的平面折線，指各邊相等、相鄰兩邊的夾角相等，且相鄰三邊中的第一、三邊總在第二邊所在直線的同側的折線。

基本介紹

• 中文名：正折線
• 外文名：positive broken line
• 所屬學科：數學（平面幾何）
• 簡介：一種特殊的平面折線

基本介紹

符合下面三個條件的折線叫做正折線。

（1）組成折線的各線段（折線的邊）都相等；

（2）各相鄰兩邊所夾得角相等；

（3）各相鄰三邊中，第一邊和第三邊在第二邊的同一側。

例如上圖中的ABCDE和FGHKL都是正折線，但是MNPQR就不是正折線，因為它雖然符合第一個第二個條件，可是它不符合第三個條件，所以不能叫正折線，雖然這樣，可是ABCDE和FGHKL中間還有區別，怎樣區別呢？ABCDE不但是正折線，並且也是凸折線，因為把任何一邊向雙方延長的時候，其它各邊都在這條直線的同旁，所以它應該叫做凸正折線，折線FGHKL卻只是正折線，而不是凸折線。

正折線與凸多邊形

凸多邊形的各邊相等且各角相等的，稱為正多邊形，折線的各邊相等且各角相等而有同一轉向的，稱為正折線。

定理 設將圓周分為n等分，則

1°分點是正多邊形的頂點；

2°圓周在這些點的切線是另一個正多邊形的邊。

1°在以各分點作頂點的多邊形中，顯然相鄰的兩邊對稱於通過其公共頂點的半徑；相鄰的兩角對稱於與其公共邊垂直的半徑。

2°在各分點的切線所形成的多邊形中，顯然相鄰的兩角對稱於與其公共邊垂直的半徑；相鄰的兩邊對稱於與聯結切點的弦成垂直的半徑。

逆定理 任一正多邊形，或者更普遍些，任一正折線，可以內接於一圓周，且外切於另一圓周。

圖4

例如設ABCDEF(圖4)為正折線，作三角形ABC的外接圓周；它的圓心O線上段BC的中垂線上，則這圓周也通過點D，要證明這個，只要注意兩邊AB及CD對稱於BC的中垂線，因為與BA對稱的線段，其方向(由於B, C兩角相等)和大小(因BA=CD)都與CD的相同，因之OA=OD。仿此可知，三角形BCD的外接圓周(即是方才的圓周)也通過點E，以下類推。

並且AB，BC等等既是新作圓周的等弦，就和它的圓心相距等遠；所以已知折線外切於另一個以O為圓心的圓周。

這第二圓的半徑，就是每一邊到圓心的距離，稱為這正折線(或正多邊形)的邊心距。

備註 任一正n邊形可用旋轉(即旋轉角以圓周n分之一的整數倍度量的那些旋轉)和對稱(關於各邊中垂線的對稱，以及關於各角平分線的對稱)以重迭於自身。

正折線與球面的面積

把半圓上的一條弧(如圖5中的AD或BE)以半圓的直徑AF為軸旋轉一周所得的球冠或球帶的面積規定為：這一條弧內的內接正折線以同一直徑為軸旋轉一周所得的面，當這正折線的邊數無限增加時，它的面積的極限。

這個定義也包括了球面的面積的定義，對於球面來說，內接正折線是在整個半圓內的。

圖5