正八邊形

正八邊形

八條長度相等的線段圍成的圖形,每個內角都是135°,首尾相連構成的一個封閉形狀的平面圖形叫正八邊形。正八邊形每個角大小都相等,每條邊長度相等。正八邊形的內角和為1080度,每個內角是135度,每個外角是45度。

基本介紹

  • 中文名:正八邊形
  • 外文名:regular octagon
  • 內角:135°
  • 外角:45°
  • 內角和:1080°
  • 外角和:360°
  • 中心角:45°
面積,周長,尺規作圖,

面積

1、由中點向各頂點連線得到8個等腰三角形,設八邊形最長對角線為2a,則等腰三角形腰長a,用正弦定理計算三角形的面積。得1/2*a*a*sin(360/8)=1/2*a^2*sin45,所以正八邊形的面積為4*a*a*sin45。
2、設正八邊形內最長對角線長為a,最短對角線長為b,則正八邊形面積面積為ab。
3、已知邊長為a時,又有:S=(2+2√2)a2≈4.828a2
推導:正八邊形可以分割成四個小三角形,四個小長方形以及中央部分的一個正方形。四個小三角形的面積和為:(√2/2a)*(√2/2a)*1/2*4=a2,四個小長方形面積之和為:(√2/2a)*a*4=(2√2)*a2,中間的正方形面積為a2,所以正八邊形面積公式為:a2+(2√2)*a2+a2=(2+2√2)*a2
4、已知中心到各點的長(外接圓半徑)為R,則正八邊形面積為2√2R2

周長

邊長長度乘以8,即可。

尺規作圖

直尺圓規畫正八邊形的方法如下:
正八邊形
  1. 做正方形ABCD,並做正方形外接圓O.
  2. 過圓心O向任意一邊(設為AB)作垂線並延長,延長線交圓弧於E、F.
  3. 以AE、DE為半徑畫弧,得到與圓O的交點,分別為G、H.
  4. 連線EAGBFCHD.
  5. 擦除其他對象,即得正八邊形EAGBFCHD.
正八邊形
正八邊形
正八邊形
正八邊形
正八邊形

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