設V1，V2是歐氏空間V中的兩個子空間．如果對於任意的α∈V1，β∈ V2，恆有( α，β)=0，則稱V1，V2是正交的，記作V1⊥V2。
基本介紹
- 中文名：正交子空間
- 外文名： orthogonal subspaces
- 所屬領域：數理科學
- 相關概念：正交、正交補、基本子空間等
定義,相關定理及推論,
定義
若內積空間中兩向量的內積為0，則它們正交。類似地，若內積空間中的向量v與子空間A中的每個向量都正交，那么這個向量和子空間A正交。若內積空間的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那么它們互為正交子空間。
令A為一m×n矩陣，並令x∈ N(A)，N(A)為A的零空間．由於Ax=0，我們有
方程（1）其中i=1，…，m．方程(1)說明，x與
的第i個列向量正交，其中i=1，…，m．由於x和 的每一個列向量正交，所以它和 的列向量的任何線性組合也正交．因此，若y為 的列空間中的任何一個向量，則
=0．於是，N(A)中的每一向量都和的列空間中的任何向量正交．當Rn的兩個子空間具有這個性質時，稱它們是正交的．
定義 設X和Y為Rn的子空間，若對每一x∈X及y ∈ Y都有 =0，則稱X和Y為正交的(orthogonal)．若X和Y是正交的，我們記為X⊥Y．
正交子空間的概念並不總是和我們直觀概念中的垂直一樣．例如，教室的牆壁和地板“看起來”是正交的，但是xy平面和yz平面並不是正交的子空間．事實上，可以考慮向量x1=(1，1，0)T及X2=(0，1，1)T，它們分別在xy和yz平面上．由於
所以子空間不是正交的．
對應於z軸的子空間和對應於xy平面的子空間是正交的。
正交補
定義 令Y為Rn的子空間．Rn中所有與Y中的每一向量正交的向量集合記為
因此
集合Y^⊥稱為Y的正交補(orthogonal complement)．
基本子空間
除了R( )的列空間包含Rn中的向量(n×1矩陣)而不是n元組外，它和A的行空問在本質上是相同的．因此，y∈ R( )的充要條件為
在A的行空間中．
直和
若U和V為一個向量空間W的子空間，且每一個w∈W可以唯一地寫為一個和u+v，其中u∈U，且v∈V，則我們稱W為U與V的直和(direct sum)，並記作:W=U⊕V.
相關定理及推論
定理1(基本子空間定理) 若A為一m×n矩陣，則
定理2 若S為Rn的一個子空間，則dimS+dimsS^T=0+n=n,若{x1，…，
xr}為S的一組基，且{x(r+1)，…，xn}為S^⊥的一組基，則{X1，…，xr，x(r+1)，…，xn}為Rn的一組基．
定理3 若S為Rn的一個子空間，則
定理4 若S為Rn的一個子空間，則
推論5 若A為一m×n矩陣，且b ∈R^m，則或者存在一個向量x∈Rn使得Ax=b，或者存在一個向量y∈R^m使得
=0且
≠0．
