模表示論

群在特徵能整除群的階的域上的表示理論。模表示理論主要研究模表示的性質和構造以及模表示與常表示的關係。20世紀初，迪克森(Dickson, L. E.)首先考察了群的模表示。模表示論的建立主要歸功於布勞爾(Brauer,R. D. )，從1935年開始在其後的40多年中，布勞爾對模表示做了深人的研究工作，其主要結果包括布勞爾的三個塊論的主要定理，以及有關特徵標的一系列深人結論。這些結果被反覆套用於有限單群分類的理論中。20世紀50年代之後，格林(Green,J. A.)系統地建立了不可分解模的理論。

基本介紹

• 中文名：模表示論
• 外文名：the theory of modular representations
• 適用範圍：數理科學

簡介

設G 為有限群，k 為域，為 G 在域 k 上的表示。如果 k 的特徵是素數 p 並能整除 G 的階，那么 稱為模表示。專門研究模表示的理論稱為模表示論。布饒爾(R.Brauer) 是有限群模表示論的創始人。模表示論的重要的基本事實都是由布饒爾發現的。在 k 的特徵整除G 的階時，群代數A= k(G) 不再是半單代數，所以,表示理論變得複雜了。

不可分解表示

設 G 在 k 上的表示 由表示模 M 給出，則 M 為一個A 模。對一個表示，除去談論它的可約性外，還有能否分解的問題。若表示模 M 不能寫成兩個非平凡子A 模的直和，則稱為不可分解表示(indecomposable representation)。不可約與不可分解是兩個不同的概念。一個模表示有可能是不可分解但可約的。

不可約表示

設 k 是G 的分裂域，則 G 在k 上的不可約表示都是絕對不可約的。我們觀察群代數 A 的分解。A 通過左乘作用在自身上，所以 A 可以看成左 A 模。此時 A 的左理想就是子 A 模。反過來群 G 的每個不可約表示模都與 A 的某個極小左理想模同構。此時 A 可以寫成 A 的左理想的直和:

這裡每個 都不能進一步寫成兩個非平凡左理想的直和。作為 A 模，給出的的表示 稱為主不可分解表示(principalindecomposable representation)。一般說來 不是不可約模(即，不是極小左理想)，而有一個由子 A 模(左理想) 組成的合成序列，而各合成因子是不可約 A 模。於是表示以某些不可約表示(各合成因子作為 A 模所給出的表示) 為成分，並且每個成分有各自的重數(即給出相應的表示的合成因子的個數)。

有下面的基本結論：

（1）對素數 p 而言，G 的絕對不可約模表示的個數等於 G 中由 p 正則元素組成的共軛類的個數 r 。把這些不可約模表示記作；

（2）互不等價的主不可分解表示共有 r 個，如。對適當編號，可使它們由左理想給出，其餘都與 中的一個模同構。表示 可以如此排列，使得 中包含一個 A 的左理想，它在中的商模給出表示；

（3）設對在內有重數。我們把這個事實寫作

因為沒有完全可約性，此處我們不使用等號。上式僅表示，作為不可約成分， 在內的重數為。顯然是非負整數。稱為嘉當不變數 (Cartan invariant) 。由組成的 矩陣 稱為嘉當矩陣 (Cartan matrix)。