模型算法控制

內部模型

MAC採用的是脈衝回響模型。對於一個線性系統，若輸入單位脈衝函式u，其輸出回響即為脈衝回響。對於採樣系統，在各採樣時刻t=T_s，2T_s，3T_s…，其對應輸出為g₁，g₂，g₃…，如右圖所示，可寫y(i)=g_i（i=1,2,3…）對於漸近穩定的系統，

。實際上考慮測量誤差的存在，當N取得足夠大時，i>N後的g_i值與誤差同級，可以忽略不計，因此可寫成：y(i)=g_i（i=1,2,3…N）這裡N為模型的時域長度。

假定輸入脈衝的幅度為U₀，那么，根據線性系統的性質則有：y(i)=g_iU₀（i=1,2,3…N）如果輸入的是一連串脈衝，那么任一時刻的輸出值則等於各個輸入脈衝的加權和。寫成離散褶積表達式的形式為：y(k+1)=g^Tu

式中g^T=[g₁，g₂，g₃…，g_N]

u=[u(k)，u(k-1)，u(k-2)…，u(k-N+1)] k為採樣時刻。

也可寫成下面形式：

y(k+1)=g₁u(k)+g₂u(k-1)+g₃u(k-2)+……+g_Nu(k-N+1)表示相對於當前時刻k後的下一個採樣時刻系統輸出的預測值。

然而g_i是在一定條件下測出的，它與真實的脈衝回響還是有差別的。用g^T 表示真實脈衝回響，而用

表示模型脈衝回響，於是就有：

，式中，y_m(k+1)表示根據模型得到的預測輸出。

MAC要求系統的輸出沿一條光滑的曲線達到給定值，這條曲線稱之為參考軌跡。通常，參考軌跡採用從當前時刻實際輸出值出發的一階指數曲線，如右圖所示。將其表達成離散形式則為：

Y_r(k+1)=αⁱy(k)+(1-αⁱ)R（i=1,2,…）

式中，α=exp(-T_s/T_r)，T_s為採樣周期，T_r為參考軌跡的時間常數。T_r越大（α越大），參考軌跡越平緩，系統的“柔性”越好，魯棒性也越強，但過程卻較遲鈍，控制的快速性變差。因此，需要在兩者兼顧的情況下預先設計和線上調整α值。

MAC的最優準則是：選擇未來某一時域（p）內的控制量（u）序列，使相應的預測輸出y_p儘可能接近期望輸出（即參考軌跡）y_r，即使下式目標函式J_p為最小：

式中，ωi為非負加權係數，它代表各採樣時刻的偏差在目標函式J_p中所占比重。

根據公式可解出一組控制量[u(k)，u(k+1)，……，u(k+p-1)]使J_p為最小。這種預測控制算法的原理圖如右圖所示。