極化恆等式(polarization identity)是聯繫內積與範數的一個重要的等式，是用範數表示內積的公式。設H是內積空間，‖·‖是由內積(·，·)導出的範數，下列等式常被稱為極化恆等式：當H是實空間時，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2)；當H是復空間時，(x，y)=(1/4)(‖x+y‖2-‖x-y‖2+i‖x+iy‖2-i‖x-iy‖2)。對於實內積空間上的雙線性埃爾米特泛函以及復內積空間上的雙線性泛函φ(x，y)也分別有類似於上述的恆等式。 基本介紹 中文名：極化恆等式外文名：polarization identity所屬學科：數學屬性：用範數表示內積的公式相關概念：內積空間、範數、內積等 定義,相關定理,定理1,定理2, 定義當是內積空間，是由內積所導出的範數時，內積也可以用範數來表達。當是實內積空間時當是復內積空間時這兩個等式可以直接從內積的定義導出。等式(1)和(2)稱為極化恆等式。相關定理Aldaz(2009)給出了如下有意義的結果。定理1設是復內積空間，對任意非零向量，有特別地，當是實內積空間時，證明： 由極化恆等式(2)得到以分別代替和，並展開右端第一項即可得到式(3)和式(4)，式(5)的證明是類似的。證畢。在定理1條件下，成立恆等關係定理2設是復內積空間，對任意非零向量，有證明：不妨假設是單位向量，由式(3)知，等號成立若且唯若存在使得，證畢。由式(6)容易得到GBS不等式。
