曼德勃羅集合

曼德布洛特集合（Mandelbrot set）是在複平面上組成分形的點的集合，一種分形圖案。

基本介紹

• 中文名：曼德勃羅集合
• 外文名：Mandelbrot set
• 含義：複平面上組成分形的點的集合
• 性質：分形圖案

定義

曼德布洛特複數集合（Mandelbrot set，或譯為曼德博集合）是一種在複平面上組成分形的點的集合，以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的復二次多項式來進行疊代。

曼德布洛特集合可以用復二次多項式:f_c(z) = z^2 +c

來定義 其中c是一個復參數。對於每一個c，從開始對fc(z)進行疊代。

序列 的值或者延伸到無限大，或者只停留在有限半徑的圓盤內。

曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至無限大的所有c點的集合。

從數學上來講，曼德布洛特集合是一個複數的集合。一個給定的複數c或者屬於曼德布洛特集合M，或者不是。

計算的方法

曼德布洛特集合一般用電腦程式計算。對於大多數的分形軟體，例如Ultra fractal，內部已經有了比較成熟的例子。下面的程式是一段偽代碼，表達了曼德布洛特集合的計算思路。

For Each z0 in Complex repeats = 0 z=z0 Do z=z^2+z0 repeate = repeats+1 Loop until abs(z)>Bailout or repeats >= MaxRepeats If repeats >= MaxRepeats Then Draw z0,Black Else Draw z0,f(z,z0,Repeats) 'f返回顏色 End IfNextf函式的一些例子直接利用循環終止時的Repeats 綜合利用z和Repeats Orbit Traps也可以用Mathematica製作 DensityPlot[Block[{z, t = 0}, z = x + y*I; While[(Abs[z] < 2.0) && (t < 100), ++t; z = z^2 + x + y*I]; Return[t]],{x, -2, 0.8}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 500, Mesh -> False]