柯西一布尼亞科夫斯基不等式(施瓦茲不等式)

柯西一布尼亞科夫斯基不等式

施瓦茲不等式一般指本詞條

柯西-布尼亞科夫斯基不等式(Cauchy-Bunjakovski inequality)是一種特殊不等式,指兩個向量的長度積與其內積絕對值(模)的關係,歐氏空間或酉空間V中任意兩個向量α與β必滿足|(α,β)|≤|α|·|β|,等號成立的充分必要條件是:α與β線性相關,此不等式稱為柯西-布尼亞科夫斯基不等式。

基本介紹

  • 中文名:柯西-布尼亞科夫斯基不等式
  • 外文名:Cauchy-Bunjakovski inequality
  • 別稱:施瓦茲不等式
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:高等代數(歐幾里得空間)
  • 簡介:兩向量的長度積與其模的關係
基本介紹,定理的證明,

基本介紹

柯西-布尼亞科夫斯基不等式指兩個向量的長度積與其內積絕對值(模)的關係,歐氏空間或酉空間V中任意兩個向量α與β必滿足|(α,β)|≤|α|·|β|,等號成立的充分必要條件是:α與β線性相關,此不等式稱為柯西-布尼亞科夫斯基不等式。例如,在n維歐氏空間R中,上述不等式為
又稱為柯西不等式,由此可規定n維歐氏空間中兩個向量的夾角
1821年,對於歐氏空間Rn柯西(A.L.Cauchy) 證明了在一般情況的這一不等式;1859年,布尼亞科夫斯基(В.Я.Буняковский)證明並系統地套用了這一不等式;1885年,施瓦茲(H.A.Schwarz)在其文章《紀念文集》中論證了這個不等式,因而也稱這個不等式為施瓦茲不等式。

定理的證明

設函式
和它們的平方在區間[a,b]上可積,證明柯西-布尼亞科夫斯基不等式
提示:考慮積分
其中
為任意實數。
證明考慮積分
,其中
為任意實數.從而有
這是關於變數
的不等式,左端是二次三項式,於是,其判別式

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