斜對稱矩陣

設M是方陣， 如果它的轉置M^t加上它本身恰好是零矩陣，那么就稱M是斜對稱矩陣。斜對稱矩陣也可以稱為反對稱矩陣或交錯矩陣。斜對稱矩陣具有性質：數域P上的斜對稱矩陣的主對角元全是零；數域P上的n級斜對稱矩陣A，如果n是奇數，則|A|=0，因此數域P上的奇數級斜對稱矩陣一定是奇異的（即不可逆的）。

基本介紹

• 中文名：斜對稱矩陣
• 外文名：skew symmetric matrix
• 屬性：矩陣
• 別名：交錯矩陣，反對稱矩陣
• 特點：主對角線所有元素為零
• 套用領域：矩陣理論

定義

設 ， 如果 ，即 ，則稱A為斜對稱矩陣（也稱為反對稱矩陣）。斜對稱矩陣的主對角線所有元素為零，因為 ，所以 。

例如：

運算性質

和運算

設 是斜對稱矩陣，則A+B為斜對稱矩陣。

證明：設A,B為斜對稱矩陣，所以有 。

易得 ，因此A+B為斜對稱矩陣。

數乘運算

設 是斜對稱矩陣，則 為斜對稱矩陣。

證明：設A為斜對稱矩陣，所以有 。

易得 ，因此kA為斜對稱矩陣。

冪次運算

設 是斜對稱矩陣。

（1）當k為偶數時， 為對稱矩陣；

（2）當k為奇數時， 為斜對稱矩陣。

逆運算

設 是斜對稱矩陣，若 ，則 仍為斜對稱矩陣。

伴隨運算

設 是斜對稱矩陣。

（1）當n為偶數時，adjA為斜對稱矩陣；

（2）當k為奇數時，adjA為對稱矩陣。

證明：設A為斜對稱矩陣，所以有 。

故有當n為偶數時，得 ，即為斜對稱矩陣；當n為奇數時，有 ，即為對稱矩陣。

定理

定理1

任意方陣A均可以表示成為一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和。

證明：設A為任意方陣，易得

令

則有 ，即B是一個對稱矩陣，C是一個斜對稱矩陣，故命題成立。

定理2

設 是中心斜對稱矩陣，則有：

（1）S可以表示成

其中 。

（2） 。