指冪不等式

指冪不等式是指數函式r^x與冪函式x^r之間關係的不等式，研究它們之間從實數軸上一個確定的區間後不等式成立。

基本介紹

• 中文名：指冪不等式
• 外文名：Refers to the power inequality
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學

定義

假設 r，x和k 是大於1的正^[1]實數 ，如果k為閉區間[r/lnr，(r/lnr)²]上的一個正實數時，那么當x>k時，有r^x>x^r成立。

證明

設f(x)=r^x/x^r，則lnf(x)=xlnr-rlnx，當x>k時，x>r/lnr>x^1/2，

設 因為 所以 ，兩邊取對數 ，所以

設 因為x>4，

也就是 因為 所以 。

又因為 所以 所以

f(x)>1，並且f'(x)/f(x)=lnr-r/x在x>k時，lnr-r/x>0，f'(x)>0，f(x)在x>k上是單調增加的，從而不等式r^x>x^r成立。

性質1

當n為自然數，則

證明：

顯然n=1時，

當n=2時,設 則由已知條件 可知 且

成立

假設當n=k時，

不等式 成立

當n=k+1時,

不等式

成立。

綜上所述，當

n為自然數，不等式

成立

推廣

x≥1，

證明：設

這是個遞推不等式， 非負，所以 ，根據泰勒公式，

也就是當

x≥1， 成立。

性質2

則

證明：

當 時， 成立

設當 時， 時

成立

當 時，+1 時

=

成立

綜上所述在

時成立