拉丁矩

拉丁矩(Latin rectangle)是拉丁方的推廣。設X為n元集，A為X上的r×s陣列，若同行和同列都沒有重複的元素，則稱A為X上的一個r×s拉丁矩。特別地，當r=s=n時，便得到一個n階拉丁方。若集X={1，2，…，n}上的n階拉丁方A=(a_ij)滿足a_ii=i，1≤i≤n，則稱該拉丁方是冪等的。若A滿足a_ij=a_ji，1≤i≤j≤n，則稱之為對稱拉丁方。若一個n階拉丁方的n個位置分布在不同行及不同列且含不同的元素，則稱這n個位置構成該拉丁方的一個截態。若一個拉丁方的主對角線(位置(i，i)，1≤i≤n)及反對角線(位置(i，n+1-i)，1≤i≤n)均為截態，則稱之為對角拉丁方。

基本介紹

• 中文名：拉丁矩
• 外文名：Latin rectangle
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合學(組合設計)
• 相關概念：拉丁矩

定義

定義1 設是一個矩陣，若的任一行是集的一個s-排列，任一列是集的一個m-排列，則稱是一個拉丁矩。

若，則就是拉丁方。

定義2 設是一個拉丁矩，如果的第一行為，則稱為行規範的拉丁矩。若一個的拉丁矩，第一列為，則稱為列規範的拉丁矩。

相關性質定理

構造拉丁方

對於任何正整數n，可以從一個的行規範的拉丁矩出發來構造一個n階拉丁方，最簡單的方法如下。

(1) 寫出的行規範拉丁矩為；

(2) 將最後一列的n與前面的列交換到第一列，就得到拉丁矩的第二行。於是階拉丁矩為

(3) 再將拉丁矩的第二行中最後一列與第二行前面的列交換到第一列，就得到拉丁矩的第三行，於是拉丁矩為

反覆這樣的過程，直到得到一個拉丁方為止。例如，下面的拉丁方就是按以上方法得到的。

這種構造拉丁方的方法，不一定從規範拉丁矩出發，還可以從的任意一個全排列的拉丁矩出發來構造一個拉丁方。那么，對於一個拉丁矩又如何構造一個拉丁方呢？我們有下面的定理。

相關定理

定理1設是集上的拉丁矩。用表示在此拉丁矩中出現的次數，則此拉丁矩可以擴充為n階拉丁方的充要條件是

推論2 集的任一拉丁矩必可擴充為一個n階拉丁方。

定理3令n為一正整數。令A為n行n列陣列，其行列上的元素為

則為基於的n階拉丁方。

定理4 令為中和n互素的非零整數，A為n行n列陣列，其i行j列上的元素為

則A為基於的n階拉丁方。