微分運算元法

微分運算元法（method of differential operator）是1993年經全國科學技術名詞審定委員會審定公布的數學名詞。

基本介紹

• 中文名：微分運算元法
• 外文名：method of differential operator
• 所屬學科：微分方程、數學
• 公布時間：1993年

一般形式

階常係數非齊次線性常微分方程的一般形式是

其中為實常數

運算元多項式

定義

對於函式規定下列記號及其意義：

記，稱為形式上的運算元多項式.

對於函式，規定

於是，常係數非齊次線性常微分方程可以寫成，即

運算

可定義兩個運算元多項式的加法和乘法：

（1）加法：

（2）乘法：

運算元多項式的運算滿足通常的多項式運算的一切規則. 特別地，它還可以作因式分解.

逆運算元

定義

稱運算元為逆運算元.

一般地，，

性質

對於實變復值函式，逆運算元有下列性質：

設, , 是實函式，分別用表示複數的實部和虛部. 則

特解解法

公式

記，其特解可表示為. 這就是運算元解法的基本形式

① 自由項是次多項式

可將展開為形式上的泰勒級數（或洛朗級數）

取展開式到第次項為止，則特解

② 自由項(可以是複數)，是實函式.

例題

例1：，求特解.

解：自由項為二次多項式，即展開到2階即可，於是