循環卷積

定義

計算兩個長度均為N的序列x₁(n)和x₂(n)的循環卷積，一個簡易的辦法是先把x₁(n)的數據，設x₁(n)=(1，2，3，4)，N=4，按逆時針方向均勻分布在一個圓周上。如圖1中(a)。的內圓所示，而把x₂(n)，設x₂(n)={5，6，7，8}，按順時針的方向均勻分布在另一個同心圓上，然後求兩圓上相應序列的乘積，並把V項乘積疊加起來作為n=0時刻的卷積值y(0)，即

y(0)=1×5+4×6+3×7+2×8=66

若求n=1時刻的y(l)值，可將外圓的：x₂(n)固定，把內圓上的序列x₁(n)順時針旋轉一個單位時間（或將x₁(n)固定，把外圓上的序列x₂(n)逆時針旋轉），然後把對應項的乘積疊加起來，即為所求。如(b)圖所示，即

y(1)=2×5+1×6+4×7+3×8=68

這樣依次將內圓序列進行循環移位一周，便可以求得：y(2)=66，y(3)=60。所以循環卷積又稱圓周卷積，卷積結果y(n)長度仍等於N，其定義式如圖2。方括弧內的運算代表兩個周期序列的周期卷積。它與線性卷積不同之處是卷積過程只限在m=0到N-1的一個周期內。乘以R_N(n)表示卷積結果只取長度為N的主值序列。

圖2

由於離散傅立葉變換(DFT)的實質是周期序列變換到頻域的描述。可以證明：兩個有限長序列在時域的循環卷積，其DFT等於在頻域兩個序列相應的DFT的乘積。

式中X₁(k)和x₂(k)分別是x₁(n)和x₂(n)的N點DFT。它表明DFT具有循環卷積性質（CCP），也是區別於其他變換的重要特性。正是這種性質，用計算機通過計算DFT達到計算循環卷積和線性卷積的目的，提髙了運算效率。按長度為N的兩個序列，其線性卷積的長度應為2N-1，而循環卷積的長度仍然為N。為此，可以通過補零把序列長度增加到L≥2N-1。這樣，一方面使循環卷積的長度等於線性卷積，另一方面避免進行循環卷積過程出現混疊造成失真，使計算結果與線性卷積相等，從而實現利用DFT計算線性卷積的目的。循環卷積有快速算法，廣泛套用於對通信系統的分析和綜合以及對信號的數字處理。