弗雷德霍姆理論是關於線性積分運算元的基本理論之一，是弗雷德霍姆(Fredholm,E.I.)通過積分方程與線性代數方程組類比的方法（即把線性積分方程看成是“無窮維”線性方程組）於1900年獲得的。
基本介紹
- 中文名：弗雷德霍姆理論
- 外文名：Fredholm theory
- 適用範圍：數理科學
簡介,弗雷德霍姆第一定理,弗雷德霍姆第二定理,弗雷德霍姆第三定理,證明,推廣,
簡介
弗雷德霍姆理論是關於線性積分運算元的基本理論之一。
設G是RN中具有非零測度的可測集，k(x,y):G×G→R1連續，D(λ)是k(x,y)的弗雷德霍姆行列式，D(x,y;λ)是k(x,y)的弗雷德霍姆第一子式，K是由k(x,y)確定的弗雷德霍姆線性積分運算元，即
弗雷德霍姆理論由下列三個基本定理組成：
弗雷德霍姆第一定理
若D(λ)≠0，則方程
對任給的連續函式f(x)，都有惟一連續解，且該解可以表為
弗雷德霍姆第二定理
若D(λ)=0，則必存在某正整數r（稱為是λ的指數），使得
有r個線性無關的連續解，並且它的任何連續解都可以表為這r個線性無關解的線性組合。
弗雷德霍姆第三定理
若D(λ)=0，λ的指數為r，則
有連續解的充分必要條件是
其中ψi(x)(i=1,2,...,r)是轉置方程
的r個線性無關連續解。
證明
上述定理是弗雷德霍姆(Fredholm,E.I.)通過積分方程與線性代數方程組類比的方法（即把線性積分方程看成是“無窮維”線性方程組）於1900年獲得的，但他沒有給出嚴格的證明。
弗雷德霍姆理論的嚴格證明是由希爾伯特(Hilbert,D.)在1904-1910年期間給出的。當k(x,y)是平方可積函式時，與上述定理類似的結論也是成立的。
