平面束

平面束屬於一種空間圖形，是一組有特殊位置關係的平面的集合，即有一條公共直線的所有平面的集合。平面束指如下的兩種平面集合：1.由所有彼此平行的平面組成的集合稱為平行平面束；2.由相交於同一條直線的所有平面組成的集合稱為共線平面束、有軸平面束或相交平面束，這條直線稱為共線平面束的軸。

基本介紹

• 中文名：平面束
• 外文名：pencil of planes/plane pencil
• 類別：空間圖形
• 所屬學科：數學
• 分類：平行平面束、有軸平面束

有軸平面束

定義

空間中通過同一直線的所有平面的集合叫做有軸平面束，那條直線叫做平面束的軸。

方程推導

通過空間直線L的平面有無窮多個，將通過空間直線L的所有平面的集合稱為過直線L的的平面束，設直線L的一般式方程為

其中係數 與 不成比例，構造一個三元一次方程：

其中 為任意實數，則上式可寫成

由於係數與 與 不成比例，所以對於任何實數 ，上述方程的一次項係數不全為零，從而它表示一個平面，對於不同的 值，所對應的平面也不同，而且這些平面都通過直線L，也就是說，這個方程表示通過直線L的一族平面，另一方面，任何通過直線L的平面也一定包含在上述通過L的平面族中，因此，上述方程

就是通過直線L的平面束方程。

特殊情況

特別地，取 時，上述方程

化為

上式表示除了平面 之外的過直線L的平面束。

取 時化為

表示除了平面 之外的過直線L的平面束。

平行平面束

定義

空間中平行於同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束。

方程推導

由平面 決定的平行平面束的方程為

其中 為任意實數。

證明 首先，對任意的實數A，方程 總表示由平面 決定的平行平面束中的平面，當 =D時，它表示平面 ；當 時，它表示與平面 平行的平面。

反過來，對於由平面 決定的平行平面束中任一平面 '，它的方程總可表示成 方程

的形式，事實上，若取平面 ’上一點 ，則可取 ，使平面'的方程表示成方程 的形式：

綜上，方程 是由平面 決定的平行平面束的方程。