平衡位勢

簡介

平衡測度是與弱平衡問題的解緊密關聯的一個測度。

若核K滿足弱平衡原理，當F為緊集且E_K(F)>0時，則由關於F的弱平衡問題的解μ得到的λ=μ/E_K(F)稱為F的平衡測度。在一定條件下也可利用內、外容量來定義波萊爾集A的內、外平衡測度，且當二者相等時，稱之為A的平衡測度。

平衡測度的位勢

稱為平衡位勢。

在R(n≥3)中，緊集F關於牛頓核的平衡位勢

在R\F的無界成分上就是以1為邊界值的廣義狄利克雷外問題的解；對於上述λ，由於I_K(λ)=λ(Ω)=C_K(F)，

在F上近乎處處等於1，有的文獻把λ稱為容量分布，而把μ稱為平衡測度；也有僅對滿足平衡原理的核K定義平衡測度的。

一般位勢是經典位勢的一種直接推廣形式，常為一個二元數值函式（核）關於某個測度的積分。

設(Ω,𝓕)是一個可測空間，K(x,y)是從Ω×Ω到[-∞,+∞]的可測函式，μ是𝓕上的實測度。若對每個x∈Ω，下式中的積分有意義，則由Ω到[-∞,+∞]的函式

稱為μ以K為核的一般位勢，簡稱位勢。