層同態

層同態(sheaf homomorphism)是兩類之間的映射誘導出的一個群同態。設(F，π，X)與(F′，π′，X)是X上的兩個群層，若連續映射A:F→F′滿足π′A=π，且對所有x∈X，由A在莖上誘導出的映射A_x:F_x→F_x′是群同態，則稱A為一個層同態。若層同態A是同胚，且A^-1也是層同態，則稱A為層同構。

基本介紹

• 中文名：層同態
• 外文名：sheaf homomorphism
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：流形上的分析(層論)

定義

設X是一個拓撲空間， 表示X之所有開集之族，設 和 是X上的兩個層，今對每個 有一個群同態 而且群同態族 對 且 有下面的交換圖成立：

這樣的 就稱之為層 到層 內的層同態。

我們一般用 表示。

相關概念

層同構

設 和 是拓撲空間X上兩個層，今有層同態：

和層同態

而且有 和 ，則稱 是層 到 上的層同構。也說 與 是同構的。

層相伴空間的同態

設 和 分別是拓撲空間X上的兩個層的相伴空間， 是一個連續映照，且適合

(1) 是保莖(preserves stalks)的，’即對 ，則 ，對所有的 都成立。

(2) 限制在莖上是群同態，即

這樣的 稱為層相伴空間 到層相伴空間 內的同態。

層相伴空間的同構

如果 和 之假定同上， 和 是兩個層相伴空間之間的同態，且有 ，則稱 是一個層相伴空間的同構，也說 和 是同構的。

相關定理

定理1 是拓撲空間X上的層，它與它的相伴空間的截影層 是同構的。

定理2設 和 是拓撲空間X上的兩個層， 和 分別是它們的相伴空間，如果 和 是層同構的，則相伴空間 和 是同構的。

定理3設 和 分別是拓撲空間X上的兩個層所對應的相伴空間，如果 和 是相伴空間同構，則它們對應的截影層 和 是層同構的。

定理1、定理2和定理3說明了一個事實：即對—個拓撲空間X，它上面二個同構的層的相伴空間是同構的(定理2)，反之，如果拓撲空間X上的二個層的相伴空間是同構的，則這二個層亦是同構的(因為由定理3知這二個相伴空間的截影層是同構的，而由定理1知每個截影層都同構於原來決定相伴空間的層，無疑層同構是一個等價關係，所以這二個層亦同構)．因此我們可以將層和相伴空間看作是一樣的，由我們所討論的問題不同而作不同的選取。