小波包分解

小波包分解

小波包分解(wavelet packet decomposition)也可稱為小波包(wavelet packet)或子帶樹(subband tree)及最佳子帶樹結構(optimal subband tree structuring)。其概念是用分析樹來表示小波包,即利用多次疊代的小波轉換分析輸入訊號的細節部分。

從函式理論的角度來看,小波包分解是將信號投影到小波包基函式張成的空間中。從信號處理的角度來看,它是讓信號通過一系列中心頻率不同但頻寬相同的濾波器。

基本介紹

  • 中文名:小波包
  • 外文名:wavelet package decomposition
  • 基本釋義:將信號投影到小波包基函式的空間
  • 性質:信號時頻分析方法
  • 歸屬學科:信號處理
  • 涉及領域:信號分析、圖像處理
背景,小波包,子空間分解過程,實際意義分析,最優小波包基,代價函式,常用代價函式,

背景

傳統的振動信號分析和處理方法一般都是採用傅立葉分析,它是一個視窗函式固定不變的分析方法,無法反映信號的非平穩、持時短、時域和頻域局部化等特性。
小波分析是一種視窗面積固定但其形狀可改變,即時間和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法,由於它在分解的過程中只對低頻信號再分解,對高頻信號不再實施分解,使得它的頻率解析度隨頻率升高而降低。
在這種情況下,小波包分解應運而生。
小波包分析能夠為信號提供一種更加精細的分析方法。小波包分析將時頻平面劃分得更為細緻,它對信號的高頻部分的解析度比二進小波要高。而且,它在小波分析理論的基礎之上,引入了最優基選擇的概念。即,將頻帶經過多層次的劃分之後,根據被分析信號的特徵,自適應地選取最佳基函式,使之與信號相匹配,以提高信號的分析能力。因此,小波包具有廣泛的套用價值。
從函式理論的角度來看,小波包變換是將信號投影到小波包基函式張成的空間中。從信號處理的角度來看,它是讓信號通過一系列中心頻率不同但頻寬相同的濾波器。

小波包

分別是尺度函式和小波函式,令:
則,定義的函式
稱為關於尺度函式
小波包
分別是尺度函式和小波函式,令:
則,定義的函式
稱為關於尺度函式
縮短小波包

子空間分解過程

函式族
稱為由尺度函式
生成的小波庫。
如下圖,為空間的小波包分解:
小波包分解

實際意義分析

參數j,k,n 的意義
小波庫中的一個函式:
參數
:尺度坐標
參數
:位置坐標
參數
:震盪次數
是中心在
,支集大小數量級為
,震盪次數為
的小波函式
參數
固定
小波庫中的函式
構成
的正交基,此時變換類似於一個加窗的
變換
參數
固定
小波庫中的函式構成的正交基,此時,變換是一個小波變換。

最優小波包基

在對函式或信號進行小波包分解時,由於
有不同的分解方式,即
有不同的正交基,因此,我們面臨“最優基”的選擇問題。
什麼是最優基?
如何選擇最優基?

代價函式

定義一個序列的代價函式,從小波庫的所有小波包基中尋找使代價函式最小的基 ,對一個給定向量來說,代價最小就是最有效的表示,此基便為“最優基”。
基本要求
單調性
可加性(次可加性)

常用代價函式

①數列中大於給定門限的係數的個數。即預先給定一門限值
,並計數數列中絕對值大於
的元素的個數
②範數:
通常選擇:
其中,
範數越小,能量越集中
③熵:
④能量對數

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