導體系統

導體系統，形狀、大小、位置等幾何參數均已給定的幾個絕緣的導體所組成的系統。

基本介紹

• 中文名：導體系統
• 影響因素：形狀、大小、位置
• 領域：物理
• 主要問題：分布電容問題

系統簡介

許多實際問題並不需要計算帶電導體系統在空間產生的靜電場E(x,y,z)或電位V(x,y,z)，而只需研究各導體的電位Vk及電荷Qk(k=1,2,…,n)之間的關係，即研究導體系統的分布電容問題。如果導體以外空間的電介質是線性的，則各導體上的電位與各導體的電荷量之間存線上性關係。

推論過程

電位係數pjk　如果在系統中給任何一個導體k單獨充電荷Qk，而其餘導體均不帶電荷，則每一個導體各有其正比於Qk的電位，

比例係數pjk稱為電位係數;Vk/Qk=pkk稱為自電位係數；Vj/Qk=pjk稱為互電位係數。因為正電荷Qk>0不可能產生負電位，即Vk>0及，並且其他導體電位不可能高於充電導體k自己的電位。即，所以自電位係數pkk>0，互電位係數pjk=pkj、pjk≥0且。這些電位係數只同導體的形狀、尺寸、相互位置及媒質的介電常數有關。
如果導體系統中，全部導體各自都充了電荷，根據線性介質中靜電場遵從的疊加原理，任何一個導體j的電位等於每一個導體電荷對導體j產生的電位的代數和，即。以矩陣形式表示則為：

， (1)

式中n階方陣【p】稱為電位係數矩陣。
電容係數ckk及感應係數cjk　如已知n個導體的電位,則各導體的電荷可用【p】的逆矩陣【p】-1乘式(1)決定：

， (2)

式中n階方陣【с】=【p】-1。
構想在系統中用電源單獨把第k個導體維持於電位Vk，其餘導體一律接地，即【V】=【0,…,0,Vk,0,…,0】T，則由式(2)得到關係式中, 當j=k時，電源既維持導體k的電位Vk，也給它充了電荷Qk，比例係數Qk/Vk=сkk稱為電容係數,當jk時,電位為Vk的導體k使其他各接地導體j得到感應電荷Qj，比例係數Qj/Vk=сjk稱為感應係數。如果導體k的電位為正,Vk>0,則其所帶的電荷必為正Qk>0,而其他接地導體j感應的電荷必為負，Qj≤0,並且這些感應電荷的總和的絕對值不大於Qk，所以電容係數сkk>0,感應係數сjk≤0且。
電位係數的單位為每法【拉】，電容係數及感應係數的單位為法,兩類係數都取決於線性媒質的介電常數ε和系統的幾何參數，而與系統的電狀態無關，除了一些幾何結構很簡單的導體系統外，要計算它們的值一般是困難的。對於實際建成的系統則可按各係數的定義用實驗方法測定。
帶電導體系統的能量 　導體系統從零初態開始充電，外源共作功

， (3a)

它轉化為帶電系統的能

。 (3b)

由式(3)可知:系統的能量只決定於電狀態【Q】及【V】，而與充電的方式、程式無關，故【p】與【с】皆為對稱矩陣。
系統能的表達式(3a)可變形為

， (4)

積分運算應遍及整個電場空間τ。用式(3)或(4)計算靜態帶電導體系統的能，結果相等。但是它們的物理含義不同,式(3)表示系統的能量存於電荷。是電荷間的相互作用能。式 (4)表示系統的能量儲存在電場中。被積函式即分布的電場能密度。超出靜電場範圍，研究時變場，尤其是電磁波時,只能用式(4)計算並用能量存在於電磁場這一已被廣泛接受的學說來闡明各種現象。
部分電容 　出現在電路中的導體系統須化為等效的電容電路模型才便於用電路理論進行分析計算。為此目的，展開式(2)，可改寫為

， (5)

式中為導體j到無窮遠處（或大地）的電位降，為導體j到導體k的電位降，且；係數稱為自部分電容,稱為互部分電容。部分電容的單位為法，其值取決於介質的介電常數ε及系統的幾何參數，而與電狀態無關。
例如三相輸電線是n=3的導體系統，根據式(5)可畫出它的等效電路模型如圖所示。