子層

子層

子層是由子群關係對對應的層。

基本介紹

  • 中文名:子層
  • 外文名:subsheaf
  • 適用範圍:數理科學
簡介,子群,層,

簡介

子層是由子群關係對對應的層。
設 (R,π,X) 與 (S,η,X) 是 X 上的群層,若 R 是 S 的開子集,η|R=π,且對所有的
子群,則稱 (R,π,X) 是 (S,η,X) 的子層。

子群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
如果群 G 的非空子集合 H 對於 G 的運算也成一個群,那么 H 稱為 G 的子群。 設 G 是群, H 是 G 的非空子集,且 H 關於 G 上的運算也構成群 ,則稱 H 是 G 的子群。

數學上,在給定拓撲空間X上的一個層(sheaf)(或譯)F對於X的每個開集給出一個集合或者一個更豐富的結構F(U) 。這個結構F(U) 和把開集限制(restricting)到更小的子集的操作相容,並且可以把小的開集粘起來得到更大的。一個預層(presheaf)和一個層相似,但它可能不可以粘起來。事實上,層使得我們可以用一種細緻的方式討論什麼是局部性質,就像套用在函式上的層。
層用於拓撲代數幾何和微分幾何,只要想跟蹤給定的幾何空間的隨著每個開集變化的代數數據,就可以用層。他們是研究局部有變化(依賴於所選開集的)的對象的全局工具。這樣,它們是研究有局部本質的實體的全局行為的自然工具,例如開集解析函式流形,等等。
作為一個典型的例子,考慮拓撲空間X,對於每個X中的開集U,令F(U) 為所有連續函式UR的集合。如果VU的開子集,則U上的函式可以限制到V上,而我們得倒映射F(U) →F(V) 。"粘合"描述了下列過程:假設Ui是給定的開集其並為U,對於每個i我們給定一個元素fiF(Ui) ,一個連續函式fi:UiR。如果這些函式在重合的地方相等,則我們可以一種唯一的方式把他們粘起來得倒一個連續函式f:UR,它和所有給定的函式fi一致。所有集合F(U) 的類和限制映射F(U) →F(V) 成為一個X上的集合的層。進一步的,每個F(U) 是一個交換環,而限制映射是環同態,這使F成為X上的環的層。
作為很相似的例子,考慮一個微分流形X,對於X的每個開集U,令F(U) 為所有可微函式UR的集合。這裡同樣的有粘合,並且我們得倒X上的環的層。另一個X上的層是,對於X的每個開集U給定所有定義在U上的可微向量場向量空間。限制和粘合向量場和函式上的操作一樣,然後我們得倒流形X上的向量空間的層。

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