多項式定理

多項式定理

二項式定理的展開式富有規律性、美觀性,體現了數學的美學文化,而多項式定理為二項式定理的推廣。用實際生活中的空盒放球來描述的話,則為:把 n 個有區別的小球放入到 k 個有區別的盒子中(盒內無序),使得第一個盒子裡邊裝有 n1 個小球,第二個盒子裡邊裝有 n2 個小球,…,第 t 個盒子裡邊裝有 nt個小球,並且滿足 n1+n2+...+nt=n,則可以很容易的利用多項式定理得到不同方法總的數目。

基本介紹

  • 中文名:多項式定理
  • 外文名:Multinomial theorem
  • 提出者:德國數學家萊布尼茲
  • 套用學科:代數,組合數學
  • 本質:二項式定理的推廣
  • 套用1:求解多項式展開式中某一項的係數
  • 套用2:小球入盒問題
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定義

多項式定理是德國數學家萊布尼茲首先發現的,他將此發現寫信告訴了瑞士數學家約翰.貝努利,由貝努利完成了定理的證明。

預備知識

記號
為方便起見,定義如下記號:
其中
是非負整數,滿足
意義:將 n 個元素分為 t 組,使得第 i 組有
個元素的方式數,重數分別為
的 t 類元素的排列數。
多項式係數的Pascal公式

定理內容

正整數,則對 t 個實數
其中

定理證明

是 n 個因式
的乘積,其展開式中共有
項,我們可以按如下方法將這些項進行分類,設
是展開式中任一項,如果在
中有
,...,
(其中有
),則把
歸於
類。顯然,屬於
類的項的個數等於由
,...,
作成的全排列數,為
。因此,在
的展開式中(合併同類項之後),
的係數為
,至此該定理得證。

特殊情況

(1)若取
,則有:
(2)多項式定理是對二項式定理的推廣,在多項式定理中令
就得到了二項式定理 。

推論

推論1

(二項式定理)
設 n 為正整數,x 和 y 是任意實數,則有:

推論2

設 n 為正整數,x是任意實數,則有:

推論3

設 n 為正整數,則有:
(1)
(令推論2中 x=1 ,則可得)。
(2)
(令推論2中 x=-1 ,則可得)。

推論4

(令多項式定理中的
,則可得到)。

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