垂足曲線

垂足曲線(pedal curve)是一種平面曲線，即由一已知曲線所產生的另一曲線。給定一條曲線C和一個定點O，從點O向曲線C的任一條切線作垂線，垂足M的軌跡S稱為曲線C關於O點的垂足曲線。反過來，C稱為曲線S關於O點的反垂足曲線。例如，拋物線關於焦點的垂足曲線是直線，橢圓和雙曲線關於焦點的垂足曲線都是圓，等邊雙曲線關於中心的垂足曲線是雙紐線。

基本介紹

• 中文名：垂足曲線
• 外文名：pedal curve
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面解析幾何(平面曲線)
• 相關概念：切線、垂線等

定義

在平面內，過定點O向曲線 的切線作垂線，其垂足的軌跡就叫做曲線 關於點 的垂足曲線。例如，圓關於任意點的垂足曲線是蝸線；拋物線關於其焦點的垂足曲線是直線；等軸雙曲線關於其中心的垂足曲線是雙紐線。曲線 對於其垂足曲線叫做反垂足曲線。

垂足曲線的方程

我們稱定點 對曲線 上各點切線作垂線的垂足所形成的曲線 ，為曲線 對 點的垂足曲線，而稱曲線 為曲線 的反垂足曲線。如圖1所示。

圖1

若設 點的坐標為 ，曲線C的方程為

則其上任一點的切線方程為

過 點與此切線垂直的直線方程為

垂足為方程(2)和(3) 所示直線的交點。當 連續變化時，方程(2)和(3)的聯立解即為垂足曲線 的方程。 即：

反垂足曲線是垂足曲線上點與 連線(徑向線) 的垂線族的包絡。現在極坐標系下由已知垂足曲線 的方程

推導反垂足曲線C的方程。為便於分析起見，現約定方程:(4)為取 為極點，極軸為圖2中 的特定條件下的表達式。見圖2，極徑 的垂線 的方程為

這是單參數 的直線族。C為其包絡則必須滿足

於是聯立式(5)、(6)兩式，可得反垂足曲線C的方程

由上式可知

還可以推出曲線C的曲率半徑為