圓束

圓束(pencil of circles)是複平面上一類圓周的總稱，若k₁和k₂為給定的兩個圓，稱同時正交k₁和k₂的圓的全體為圓束。按照k₁和k₂相交、相切及相離的情形，相應的圓束分別稱為雙曲型圓束、拋物型圓束及橢圓型圓束。

基本介紹

• 中文名：圓束
• 外文名：pencil of circles
• 別名：共軸圓系、同根圓系
• 分類：雙曲型、拋物型及橢圓型圓束
• 所屬學科：數學

基本介紹

若一個圓集裡的圓兩兩的等冪軸是同一直線，這圓集就叫做圓束，也叫做共軸圓系、同根圓系。叫做圓束的等冪軸（根軸）。圓束也就是同一平面內同時通過兩個定點的一族圓(這兩點可以為實點，也可以為虛點)。

相關概念

點對於圓的冪

定義1 一點P對於圓的冪，是指點P與圓心的距離的平方減去圓的半徑r的平方所得的差，即

點P對於圓的冪=

由定義立即知道：當點P在圓外時，它對於圓的冪是一個正數；當點P在圓上時，它對於圓的冪是0；當點P在圓內時，它對於圓的冪是一個負數，並且反過來也成立。

點對於圓的冪還有另外一個定義。

定義2 已知點P和圓，通過點P作這圓的割線和這圓相交於點A，B，則有向線段與的數值的乘積叫作點P對於圓的冪。

兩個圓的根軸（等冪軸）

定理1 對於不同心的圓

和圓

有相等的冪的點的軌跡是直線

由這個定理我們給出以下的定義。

定義 對於兩個不同心的圓有相等的冪的點的軌跡——一條直線，叫作這兩個圓的根軸(等冪軸)。

由定理1知道，由兩個已知圓的方程消去二次項所得的一次方程就是兩個已知圓的根軸的方程，並知同心圓的根軸不存在，由根軸的定義可知，兩個圓的根軸上不在兩個圓內的部分是到這兩個圓有等長切線的點的軌跡，這是因為當根軸上的點在圓外或圓上時，點對於圓的冪的算術平方根恰是從這點到圓上引的切線的長。

兩個圓的根軸的性質

定理2 兩個圓的根軸垂直於這兩個圓的連心線。

定理3 當兩個圓相交時，它們的根軸通過它們的兩個交點；當兩個圓相切時，它們的根軸通過切點並且和這兩個圓都相切；當兩個圓相離時，它們的根軸和這兩個圓都相離(圖1)。

圖1

圓束的分類及方程

若已知圓束中的兩圓

和

則圓束的方程為

其中是參數，。上述方程中，若，則方程表示一直線，該直線即圓束的等冪軸（或說兩圓的根軸）。

當時，對應每一組值，上述方程分別表示一個圓，如果兩已知圓相交於點M和N，那么圓束所表示的是通過點M和N的一切圓，這樣的圓束叫做橢圓型圓束；如果兩已知圓相切於點，那么圓束所表示的是和已知圓相切於點的一切圓，這樣的圓束叫做拋物型圓束；如果兩已知圓沒有公共點，那么圓束所表示的是每兩個都和兩已知圓有公共根軸，並且這些圓彼此都不相交的一切圓，這樣的圓束叫做雙曲型圓束。

也可以按下面的說法定義三種圓束。

若圓束中所有圓都通過其中一圓與等冪軸的兩個交點，則稱這樣的圓束為橢圓型圓束。 ·若圓束中所有的圓都和等冪軸切於一點，則稱圓束為拋物線型圓束。若圓束中所有的圓都和等冪軸無交點，則稱圓束為雙曲線型圓束。

對於一個圓束，有無數多個圓與其中所有圓正交，這些圓之集合稱為已知圓束的共軛圓束。橢圓型圓束與雙曲線型圓束共軛，拋物線型與拋物線型圓束共軛。

利用圓束可以研究等冪軸，亦可用來解決幾何作圖問題。

我國古代，《數書九章》中記述了這樣的問題：把一批竹竿縛成近乎圓狀的一捆，如果已知外圍有若干根竹竿，問這一捆竹竿共有多少根?這裡，把竹竿看成圓柱體，就把問題抽象為一批等圓無重迭地納入一個大圓中，由外圍的小圓個數去求大圓內所含小圓的個數，這種把一批等圓無重迭地納入一個大圓的圖形就叫做圓束。

定理4 圓心位於軸上，以軸為根軸的共軸圓系的方程為

這裡k是參數，可以取任意實數，F是某個常數，對應於不同的F，有不同的共軸圓系。

例如，方程

都是圓心位於x軸上，並且以y軸為根軸的共軸圓系的方程，方程(1)中的常數F決定這個圓系的類型。事實上，我們容易知道，這個圓系的各圓都和它的根軸(y軸)相交於定點，由此可知：

(1)當時，圓系的各圓和根軸(y軸)有兩個不同的實交點，這種共軸圓系屬於相交類(或叫作橢圓型的)。

(2)當時，圓系的各圓和根軸(y軸)有兩個相同的公共點(0，0)，即圓系的各圓都和根軸相切於一點，這種共軸圓系屬於相切類(或叫作拋物線型的)。

(3)當時，圓系的各圓和根軸(y軸)以及這些圓彼此之間都沒有公,共點，這種共軸圓系屬於相離類(或叫作雙曲線型的)。

上面舉出的三個具體方程依次是橢圓型的、拋物線型的、雙曲線型的共軸圓系的方程，三種類型的共軸圓系如表1所示。

共軸圓系

中各圓的圓心為，半徑為。

當，即時，我們得到兩個點圓，這兩個點圓的圓心為，也即是點是屬於圓系的兩個點圓。

我們把這兩個點叫作圓系的兩個極限點。

當時，即圓系屬於相交類時，兩個極限點是虛的，也可以說沒有極限點。

當時，即圓系屬於相切類時，兩個極限點是實的，並且重合於各圓與根軸的切點，也可以說這個圓系恰有一個極限點。

當時，即圓系屬於相離類時，這個圓系有兩個不重合的實極限點，這時也說這個共軸圓系屬於極限點類。

圓系

圓系(system of circles)是具有某種共同性質的圓的集合。它們的方程稱為圓系方程。從圓的一般方程中，如果中有一個或兩個任意常數，而其它兩個或一個為定值，即得含一個或兩個參數的圓系方程。

常見的圓系有：

(1)同心圓系。其方程為，其中,為定點，為任意正實數。

(2)共軸圓系，亦稱圓束。對於兩個已知圓，以它們的根軸為公共根軸的圓系方程為

其中為不等於-1的任意常數(不包括圓在內)。