四頂點定理

四頂點定理

經典的四頂點定理表明,簡單、閉合、平滑的平面曲線的曲率函式具有至少四個局部極值(具體來說,至少兩個局部最大值和至少兩個局部最小值)。 定理的名稱源自於將曲率函式的極值點稱為頂點。 這個定理有許多概括,包括一個空間曲線的版本,其頂點被定義為扭轉點。

基本介紹

  • 中文名:四頂點定理
  • 外文名:Four-vertex theorem
  • 學科:數學
  • 性質:曲率函式具有至少四個局部極值
  • 證明者:斯亞馬達斯·穆科帕迪亞亞
  • 套用:力學的平衡點
簡介,舉例,發展簡史,驗證推導,定理推廣,套用例子,離散變化,空間曲線泛化,

簡介

經典的四頂點定理表明,簡單、閉合、平滑的平面曲線的曲率函式具有至少四個局部極值(具體來說,至少兩個局部最大值和至少兩個局部最小值)。 定理的名稱源自於將曲率函式的極值點稱為頂點。 這個定理有許多概括,包括一個空間曲線的版本,其頂點被定義為扭轉點。
四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理。這定理指出,一條簡單閉曲線的曲率函式,如果不是常值,便有至少四個局部極值。更確切地說,這函式有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值。

舉例

橢圓具有正好四個頂點:有兩個局部最大曲率,其中橢圓的長軸是交叉的,兩個局部最小曲率,其中橢圓的短軸是交叉的。 在一個圓圈中,每個點都是局部最大值和局部最小曲率。

發展簡史

1909年斯亞馬達斯·穆科帕迪亞亞最先證明這定理對曲線(即有嚴格正曲率)成立。他的證明用到了以下結果:曲線上一點的曲率是極值,若且唯若在該點的密切圓與曲線有4點切觸。(密切圓與曲線一般只有3點切觸。)1912年阿道夫·克內澤爾證明了定理在一般情況成立。

驗證推導

多年以來,四頂點定理的證明仍然很困難,但Osserman(1985)基於最小包圍圓的想法給出了一個簡單和概念的證明。這是一個包含給定曲線並具有儘可能小的半徑的圓。如果曲線包含一個圓弧,則它具有無窮多的頂點。否則,曲線和圓必須至少在兩點相切。在每個相切處,曲線的曲率大於圓的曲率(否則曲線將從圓周外的切線而不是內部繼續)。然而,在每對切線之間,曲率必須減小到小於圓的曲率,例如在通過平移圓獲得的點,直到它不再包含兩個切點之間的曲線的任何部分,並考慮最後的翻譯的圓和曲線之間的接觸點。因此,在每對切線之間存在局部最小曲率,給出四個頂點中的兩個。在每對局部最小值之間必須存在局部最大曲率,給出其他兩個頂點。

定理推廣

逆定理
四頂點定理的逆定理指,在圓上定義任意連續實值函式,使得有兩個局部極大值和兩個局部極小值,那么這函式是一條簡單平面閉曲線的曲率函式。1971年赫爾曼·格盧克證出嚴格正函式的情形。他證明在n維球面預先定義曲率的更一般定理,以上結果是其特例。比約恩·達爾貝里在他1998年1月去世前不久,證明逆定理的完整版本。他的證法用到卷繞數,類似代數基本定理的拓撲證明。
推論
這定理的一個推論是,任何在平面上滾動受重力作用的均勻板,都有至少四個平衡點。它的三維推廣並不容易,實際上,存在少於四個平衡點的三維凸均勻體

套用例子

力學
定理的一個推論是,在重力作用下在水平面上滾動的均勻的平面圓盤至少具有4個平衡點。 然而,在三維中存在單穩態多面體,並且還存在具有正好2個平衡點(一個穩定的,另一個不穩定的)凸起的,均勻的對象。

離散變化

對於凸和非凸多邊形,四頂點定理的幾個離散版本,這裡是其中的一些:
(1)具有至少四個頂點的凸形等邊多邊形的角度序列至少具有四個極值。
(2)具有至少四個邊的凸等角多邊形的邊長度序列至少具有四個極值。
(3)如果包含多邊形的所有剩餘頂點,或者在其內部沒有任何頂點,則圍繞具有至少四個頂點的多邊形的三個連續頂點的圓被稱為極值。如果在同一個圓上沒有四個頂點,這樣一個凸多邊形是通用的。那么每個具有至少四個頂點的通用凸多邊形至少有四個極值圓。
(4)具有平行對應邊和相等面積的兩個凸起的n-gons在對應的邊長度差的循環序列中具有零或至少4個符號變化。
這些變化中的一些比另一個變化更強,並且它們都意味著(通常的)四頂點定理包含有一些極限參數。

空間曲線泛化

從球體到平面的立體投影保留了測地曲率的關鍵點。 因此,簡單的閉合球形曲線具有四個頂點。 此外,在球體上,曲線的頂點對應於其扭轉消失的點。 因此,對於空間曲線,頂點被定義為扭轉點。 1994年V.D.Sedykh表明,位於凸體邊界上的每個簡單閉合空間曲線都有四個頂點。 在2015年,穆罕默德·高米將Sedykh定理推廣到所有結合局部凸盤的曲線上。

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