若μ是(Ω,𝓕)上的廣義測度，則存在兩個不相交的關於μ的正集A和負集B，使Ω=A∪B。如此的一對集A和B稱為μ的哈恩分解。
基本介紹
- 中文名：哈恩分解
- 外文名：Hahn decomposition
- 適用範圍：數理科學
簡介,分解,廣義測度,
簡介
哈恩分解是與給定的測度相應的基本空間的分解。
哈恩分解有各種不同的證明，最早的證明屬於哈恩(Hahn,H.)(1921)。
若μ是(Ω,𝓕)上的廣義測度，則存在兩個不相交的關於μ的正集A和負集B，使Ω=A∪B。如此的一對集A和B稱為μ的哈恩分解。
分解
設(Ω,𝓕,μ)是σ有限的測度空間，f(x)是Ω上的可積函式，集函式
便是(Ω,𝓕)上的廣義測度。對於γ，集A={x|f(x)≥0}，B={x|f(x)<0}就分別是γ的正集、負集。
若取A1={x|f(x)>0}，B1={x|f(x)≤0}，它們也分別是γ的正集、負集。所以一般地哈恩分解並不惟一。
廣義測度
廣義測度亦稱帶符號測度，即可取正、負任何實數以及擴充實數值（+∞與-∞只取一個），具有可列可加性，空集對應函式值為0的集函式。
若(Ω,𝓕)為可測空間，μ是定義在𝓕上的擴充實值集函式，則μ為廣義測度的充分必要條件是μ滿足如下條件：
1、μ(∅)=0；
2、除有限值外，±∞中只有一個可能取作μ的值；
3、具有可列可加性。
