設△ABC的垂心為H，點D為△ABC外接圓上異於三角形頂點的任意一點，則點D關於△ABC的西姆松線通過線段DH的中點．（西姆松線見西姆松定理）
基本介紹
- 中文名：史坦納定理
- 外文名：Steiner's theorem
- 別稱：九點圓定理推論2
- 提出者：史坦納
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：幾何
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套用定理
△ABC的外接圓上的一點D的關於邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條（與西姆松線平行的）直線上。這條直線被叫做點D關於△ABC的鏡象線．
定理證明
相比直接證明史坦納定理，證明史坦納定理的套用定理更為簡便！
如圖，設點D關於邊BC、CA、AB的對稱點分別為P、Q、R，則有：
∠BPC=∠BDC=∠BAC=180°-∠BHC（垂心的性質）
所以H、B、C、P四點共圓，同理有：
所以H、C、A、Q四點共圓．
所以H、A、B、R四點共圓．
證明垂心H在PQ上只要證明∠CHP與∠CHQ互補或相等．
由四點共圓和對稱性
∠CHP=∠CBP=∠CBD
∠CHQ=∠CAQ=∠CAD
∠CBD與∠CAD互補
所以有∠CHP與∠CHQ互補,即H在PQ上．
史坦納定理的套用定理證畢，顯然西姆松線是三角形DPQ的中位線，所以DH與西姆松線的交點一定是DH的中點，史坦納定理得證．
定理推論
在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其餘一點的關於該三角形的西姆松線，這些西姆松線交於一點。
