可數基數

可數基數(countable cardinal number)是一種無窮基數，指可數集的基數即自然數集合ω={1，2，…，n，…}的基數，記為N₀（此處“N”代表猶太人使用的希伯萊文的第一個字母aleph，實際寫法並不是大寫英文字母N，見正文），N₀是一個最小的超限基數，自然數集合ω本身是一序數，並且是初始序數，因此按基數的定義，ω就是自然數集的基數，即N0=ω，由於ω是最小的無窮序數，故記為ω₀，與自然數集等勢的集合很多，例如整數集Z、有理數集Q、平面上或空間中的有理點集等，所以|Z|=|Q|=N₀=ω₀。

基本介紹

• 中文名：可數基數
• 外文名：countable cardinal number
• 所屬學科：數學（集合論）
• 簡介：一種無窮基數

基本介紹

定義1 (1) 若存在φ:A↦B,對任意x∈A,存在唯一的y∈B,使得y=φ(x);反之,若存在ψ:B↦A,對任意x∈B,存在唯一的y∈A,使得y= ψ(x),則稱A,B是一一對應的(one-to-one)；

(2)若兩個集A,B是一一對應的,則稱A, B是對等的(equipotent),即A,B有相同基數，記為cardA = cardB。

例如，正奇數集O= {1,3,... ,2n-1,..}和正偶數集E= {2,4,...,2n,..}之間可建立一一對應的關係：

φ:O↦E

使得：

φ(2n- 1)= 2n，

故O和E有相同基數。

又如,O= {1,3,... ,2n-1,...}和正整數集之間可建立一一對應的關係:

φ:O↦Z⁺

使得：

φ(2n- 1)=n

故它們是對等的，這是局部與整體對等的例子。

定義2 (1) 正整數集的基數稱為可數基數(countable cardinal),記為

cardZ⁺= 。

(2)若集A與正整數集是對等的，則稱其為可數的，記為

cardA= ，

式中: 為猶太人使用的希伯萊文的第一個字母，讀做aleph。

相關性質

可數集的特徵是其全部元可排成序列。

下面介紹可數集的幾個重要性質。

定理1 任意無限集都有可數子集。

證 設M是無限集，取e₁∈M.由於M的無限性，M\{e₁}是非空的,故可取e₂∈M\{e₁}.

一般地，設已選出{e₁,e₂,... ,e_n}.還由於M的無限性，M\{e₁,e₂,... ,e_n}是非空的。繼續選e_n+1∈M \{e₁,e₂,... ,e_n}.

由歸納法得可數子集{e₁,e₂,... ,e_n}。證完。

定理1說明可數集是最小的無限集。

定理2 可數集的無限子集是可數的.

證 設M是可數集，則cardM=.設M₁是M的無限子集.由定理1可知，M₁有可數子集M₂,即cardM₂ = ,所以cardM₁=，證完。

定理3 有限多個可數集的並是可數的。

證 設有可數集A₁,A₂,...,A_k,其中

於是，可將可數集A₁,A₂,...,A_k並的元排列成序列:

它可與正整數集一一對應， 故是可數的。證完。

進一步還有下述結果。

定理4可數個可數集的並是可數的。

證設有可數集A₁,A₂,...,A_n,...,其中

並按下標之和的順序來排列(下標之和是相同的元按第一個下標來排列),於是，

可將A₁,A₂,...,A_n,...並的元排成序列

它可與正整數集一一對應，故是可數的。證完。

例題解析

下面利用上述定理來證明有理數的可數性。

【例1】有理數集(set of rational numbers) Q是可數的。

事實上，設

則集A_n是可數的，而正有理數集,故由上述定理可知，正有理數集是可數的。

同理，負有理數集Q^-是可數的，故有理數集是可數的。