反函式組

反函式組是函式的另一種表現形式，反函式組的存在性問題是隱函式組存在性問題的一種特殊形式。反函式組是數學分析領域函式理論方面的重要內容。

基本介紹

• 中文名：反函式組
• 外文名：Inverse function group
• 學科領域範圍：數學分析
• 屬性：隱函式組

定義

設函式

是定義在平麵點集上的兩個函式，對每一點，由方程組（1）有平面上惟一的一點與之對應。我們稱方程組（1）確定了到的一個映射（變換），記作。這時映射（1）可寫成如下函式形式

或寫成點函式形式，並稱為映射下的象，而則是的原象。記在映射下的象集為。

反過來，若為一一映射（即不僅每一原象只對應一個象，而且不同的原象對應不同的象）。這時每一點，由方程組（1）都有惟一的一點與之相對應。由此產生的新映射稱為映射的逆映射（逆變換），記作，即

或者

亦即存在定義在上的一個函式組

把它代入（1）而成為恆等式：

這時我們又稱函式組（2）是函式組（1）的反函式組。

關於反函式組的存在性問題，其實是隱函式組存在性問題的一種特殊情形。這只需要把方程組（1）改寫成

並將隱函式組定理套用於（4），便可得到函式組（1）在某個局部範圍記憶體在反函式組（2）的下述定理。

定理（反函式組定理）

設函式組（1）及其一階偏導數在某區域上連續，點是的內點，且

則在點的某一領域上存在惟一的一組反函式（2），使得，且當時，有

以及恆等式（3）。此外，反函式組（2）在上存在連續的一階偏導數，且

由上式可以看到：互為反函式組的（1）和（2），它們的雅可比行列式互為倒數，即

這與（一元）反函式求導公式相類似。

例1

平面上的點的直角坐標與極坐標之間的坐標變換公式為

由於

所以除軸外，在一切點上由函式組（5）所確定的反函式組是