半平面

半平面

平面內的一條直線把這個平面分成兩部分,每一部分對這個平面來說,都叫做半平面。包括這條直線的半平面叫做閉半平面,否則叫做開半平面。

基本介紹

  • 中文名:半平面
  • 外文名:half plane
  • 所屬學科:數學
  • 分類:開、閉半平面,左、右半平面等
定義,定義1,定義2,定義3,定義4,複平面的半平面,

定義

定義1

半平面是立體幾何的基本概念之一。一條直線將平面分為兩部分,其中的每一部分均稱為半平面。例如,若a是平面α上的一條直線,則將α上不屬於a的點按以下性質分為兩個集合:連結同一個集合的兩點的線段不與a相交,連結不同集合的兩點的線段必與a相交。這兩個集合都稱為半平面,直線a稱為這兩個半平面的邊界或邊緣,包含邊界的半平面稱為閉半平面,不包含邊界的半平面稱為開半平面。

定義2

歐氏平面被平面上一直線
分割成兩部分,其中每一部分都稱做半平面,直線
可以屬於兩半平面中的任一個,若直線
的方程為
(A,B不同時為零),且它不屬於兩半平面中的任何一個,則該直線所確定的兩半平面中一個上的點都滿足
,而另半平面上的點都滿足

定義3

所謂半平面,就是指一條直線一側的部分。若規定直線的正方向.則沿正方向看去,左側的部分稱為左半平面,右側的部分稱為右半平面。直線上的點屬於哪個半平面,需根據實際問題,具體判斷。

定義4

直線
平面分割成兩個半平面。若對著向量
的方向時,在左邊的半平面稱為左半平面,在右邊的半平面稱為右半平面。請注意左右半平面的定義是由向量
的方向所決定。例如:直線
所分割的平面如圖1,直線
(同樣的直線但方向相反)分割的平面如圖2。
圖1圖1
圖2圖2
有時討論半平面,是要決定哪個半平面包含所給定的點,對於由直線
分割的平面,它的左半平面與右半平面如3所示。
要決定那個半平面包含點
我們可以定義向量
如果P在左半平面,則
是(0,0,1)的正倍數;如果P在右半平面,則
是(0,0,1)的負倍數。
考慮直線
和點
是(0,0,1)的正倍數,我們可以從圖3中看出P點確實在左半平面。
圖3圖3
注意:上面測定點位於左或右半平面的方法適用於右手坐標系統(右手坐標系統在計算時較常使用),然對於左手坐標系統,其他條件相同,如果P在左半平面,則
是(0,0,1)的負倍數;如果P在右半平面,則
是(0,0,1)的正倍數。

複平面的半平面

對於複平面,常研究所謂上半平面
和下半平面
左半平面
和右半平面
復上半平面可以通過分式線性函式
保角映射為圓
其中
為任一複數,

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