勒貝格定理

在數學分析中，勒貝格定理，或稱黎曼-勒貝格定理是一個傅立葉分析方面的結果。

這個定理有兩種形式，分別是關於周期函式（傅立葉理論中關於傅立葉級數的方面）和關於在一般實數域R上定義的函式（傅立葉變換的方面）。在任一種形式下，定理都說明了可積函式在傅立葉變換後的結果在無窮遠處趨於0。這個結果也可以適用於局部緊緻的阿貝爾群。

基本介紹

• 中文名：勒貝格定理
• 外文名：Lebesgue lemma
• 學科：數學

歷史

波恩哈德·黎曼發表這個定理的最初版本是在公元1854年，作為他為哥廷根大學的特許任教資格進行的答辯的關於三角級數的論文《論函式之三角級數表示》（Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe）中的一部分。在這一篇答辯論文中，黎曼首先定義了現在以他的名字命名的黎曼積分。在黎曼積分的理論基礎上，黎曼得出了許多與傅立葉級數相關的結果，其中包括了黎曼-勒貝格定理。在黎曼逝世後的第二年（1867年），這篇答辯論文被收錄在《黎曼著作集》中發表，1873年被翻譯成法語。

定理的敘述

設 f為一個在實數域R的區間I上定義的L可積函式，取值為實數或複數。那么有：

在傅立葉分析中，可以將定理中的表達式變成相關的概念。

當區間 是 的時候，黎曼-勒貝格定理變為：

其中的n是整數。因此，對於周期是 的局部可積的周期函式，其對應的傅立葉級數的係數 在n趨於正無窮或負無窮時都會趨於0。比如說對於分段連續的函式，以上結果就是成立的。

當區間 包括了整個實數軸 的時候，黎曼-勒貝格定理則說明函式的傅立葉變換在無窮遠處等於0，即：