割線定理

割線定理

割線定理(Secant Theorem)是現代詞,是一個專有名詞,指的是從外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。割線定理為圓冪定理之一。

基本介紹

  • 中文名:割線定理
  • 外文名:Secant Theorem
  • 別稱:無
  • 表達式:LA·LB=LC·LD=LT2
  • 提出者:Jakob Steiner
  • 提出時間:約西元1800
  • 套用學科:數學、物理等
  • 適用領域範圍:幾何
  • 適用領域範圍:有關圓的任何領域
  • 類屬:圓冪定理
  • 作用:求線段長度
定理定義,驗證推導,證明一,證明二,證明三,比較,

定理定義

文字表達:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。
數學語言:從圓外一點L引兩條割線與圓分別交於A.B.C.D 則有 LA·LB=LC·LD=LT2
幾何語言:∵割線LDC和LBA交於圓O於ABCD點
∴LA·LB=LC·LD=LT2
割線定理
如右圖所示。(LT為切線

驗證推導

證明一

已知:如圖直線ABP和CDP是自點P引的⊙O的兩條割線
割線定理
求證:PA·PB=PC·PD
證明:連線AD、BC∵∠A和∠C都對弧BD
∴由圓周角定理,得 ∠DAP=∠BCP
又∵∠P=∠P
∴△ADP△CBP (如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似。)
∴AP:CP=DP:BP
即AP·BP=CP·DP

證明二

既然圓內接四邊形定理可以從割線定理而得,那么或許割線定理就可以從圓內接四邊形定理而得。
割線定理
如圖所示。
已知:從圓O外一點P引兩條的割線,一條交圓於A、B,另一條交圓於C、D
求證:AP·BP=CP·DP
證明:連線AC、BD
由圓內接四邊形定理得
∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°
又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°,∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°(平角的定義)
∴∠ABD=∠ACP,∠BDC=∠CAP(同角的補角相等)
∴△ACP∽△DBP(兩角對應相等的三角形相似)
∴AP/DP=CP/BP(相似三角形對應邊成比例)
∴AP·BP=CP·DP(比例基本性質)

證明三

根據切割線定理求證。
已知:從圓O外一點P引兩條的割線,一條交圓於A、B,另一條交圓於C、D
求證:AP·BP=CP·DP
割線定理
過點P作圓O的切線,記切點為T
由切割線定理可知:AP·BP=PT2,CP·DP=PT2
∴AP·BP=CP·DP
割線定理的證明割線定理的證明
割線定理的證明割線定理的證明

比較

相交弦定理切割線定理以及它們的推論統稱為圓冪定理。一般用於求線段長度。

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