列空間

若矩陣A=[a₁，a₂，…，a_n]∈C^m×n為復矩陣，則其列向量的所有線性組合的集合構成一個子空間，稱為矩陣A的列空間(column space)或列張成(column span)，用符號CoI(A)表示。

基本介紹

• 中文名：列空間
• 外文名：column space
• 別名：列張成
• 所屬學科：數學（矩陣）
• 相關概念：復矩陣，列向量等

基本介紹

行向量、列向量 若A為一m×n矩陣，A的每一行為一個實的n元組，於是可將其看成是R^1×n中的一個向量。對應於A的m個行的向量稱為A的行向量(row vector)。類似地，A的每一列可以看成是R^m中的一個向量，且稱這n個向量為A的列向量(column vector)。

行空間、列空間 如果A為一m×n矩陣，由A的行向量張成的R^1×n的子空間稱為A的行空間(row space)。由A的各列張成的R^m的子空間稱為A的列空間(column space)。

例1 令

A的行空間是所有如下形式的3元組：

A的列空間是所有如下形式的向量：

因此，A的行空間為一個R^1×3的二維子空間，且A的列空間為R。

列空間與線性方程組

在研究線性方程組時，行空間和列空間的概念十分有用，一個方程組可寫為

定理1(線性方程組的相容性定理) 一個線性方程組相容的充要條件是b在的列空間中。

若將b用零向量替代，則(1)化為

由(2)知，若且唯若的列向量線性無關時，方程組僅有平凡解。

定理2 令為一m×n矩陣， 若且唯若的列向量張成R^m時，對每一，線性方程組是相容的，若且唯若的列向量線性無關時，對每一，方程組至多有一個解。

推論 若且唯若一個n×n矩陣的列向量為的一組基時，是非奇異的。

一般地，矩陣的秩和其零空間的維數加起來等於矩陣的列數。一個矩陣的零空間的維數稱為矩陣的零度(nullity)。

定理3(秩一零度定理) 若為一m×n矩陣，則的秩與的零度的和為n。

相關定理

定理4 兩個行等價的矩陣有相同的行空間。

證明： 若B行等價於A，則B可由A經有限次行運算得到。因此，B的行向量必為A的行向量的線性組合。所以，B的行空間必為A的行空間的子空間，因為A行等價於B，由相同的原因，A的行空間是B的行空間的子空間。

定義 A的行空間的維數稱為矩陣A的秩(rank)。

為求矩陣的秩，可以將矩陣化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中的非零行將構成行空間的一組基。

例2令

將A 化為行階梯形，得到矩陣

顯然，(1，-2，,3)和(0，1，5)構成的行空間的一組基。因為和A是行等價所以它們有相同的行空間，且因此A 的秩為2。

一般地，若A為一m×n矩陣，且是A的行階梯形，則由於若且唯若時，，故它們的列向量滿足相同的依賴關係。

定理5若A為一m×n矩陣，則A的行空間的維數等於A的列空間的維數。

證明： 若A為一秩為r的m×n矩陣，則A的行階梯形將有r個首1元素。中對應於首1元素的列將是線性無關的。然而，它們並不構成A的列空間的基，這是因為，一般地，A和有不同的列空間。令為消去中自由變數所在的列得到的新矩陣。從A中消去相應的列，並記新矩陣為。矩陣和也是行等價的。因此，若x為的一個解，則x必為的解。因為的各列是線性無關的，故x必為0，因此，的各列也是線性無關的，因為有r列，所以A的列空間的維數至少為r。因為對任何矩陣，其列空間的維數大於或等於行空間的維數，將這個結論套用於，我們有

dim(A的行空間)=dim(的列空間)

≥dim(的行空間)

=dim(A的列空間)

因此，對任何矩陣A，行空間的維數必等於列空間的維數。

我們可以利用A的行階梯形求A的列空間的一組基。我們只需求中對應於首1元素的列即可。A中的相應列將是線性無關的，並構成A的列空間的一組基。

注意： 行階梯形僅告訴我們A的哪一列用於構成基。但不能用的列作為基向量，這是因為和A一般有不同的列空間。