共軛根

共軛根（conjugate roots）是一對特殊根，指多項式或代數方程的一類成對出現的根，如共軛復根、共軛無理根等。在抽象代數中，一個域上的n次不可約多項式在其分裂域中的n個根，稱為互相共軛的根。

基本介紹

• 中文名：共軛根
• 外文名：conjugate roots
• 概述：多項式或代數方程中成對出現的根
• 舉例：共軛復根、共軛無理根
• 領域：代數學
• 學科：數學

定義

共軛根（conjugate roots）是一對特殊根，指多項式或代數方程的一類成對出現的根。

若非實複數a是實係數n次方程f(x)=0的根，則α與 的重數相同，稱α與 是該方程的一對共軛復（虛）根。

若 （a,b≠0，c>0皆為有理數， 為無理數）是有理係數方程f(x)=0的根，則 也是方程f(x)=0的根，稱 ， 為該方程的一對共軛無理根。

在抽象代數中，一個域上的n次不可約多項式在其分裂域中的n個根，稱為互相共軛的根。

實例

例1 求方程x²+1=0的根。

解：容易解出i和-i是該方程的一對共軛復（虛）根，且重數均為1。

例2 求方程x²+x-1=0的根。

解：由一元二次方程的求根公式易得：

是該方程的一對共軛無理根。

常用結論

實係數三次多項式

的判別式為

當D(f)>0時，f(x)有三個相異實根；當D(f)=0時，f(x)有三個實根且至少有兩個根相等；D(f)<0時，f(x)有一個實根和一對共軛虛根。