《兩類奇異空間上的運算元代數與指標定理》是依託陝西師範大學，由喬雨擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：兩類奇異空間上的運算元代數與指標定理
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：喬雨
- 依託單位：陝西師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究兩類奇異空間上的運算元代數及指標定理。第一類空間是帶有圓錐點的區域。根據這類空間邊界的奇性，構造出一個李群胚，使得區域邊界上伸縮不變的擬微分運算元對應於這個李群胚上的擬微分運算元。利用李群胚的形變理論，我們定義一個解析指標，而且可以證明存在著一個拓撲指標；最後建立指標定理，也就是證明這兩個指標相等。第二類空間是可伸縮空間。這類空間上粗Baum-Connes猜想在九十年代已經被Higon和Roe所證明，證明方法基於Eilenberg Swindle技巧。本項目用KK-理論和E-理論，寫出粗Baum-Connes映射的具體形式，然後利用可伸縮空間本身的特性構造出一個漸進態射，證明這個漸進態射誘導的映射就是粗Baum-Connes映射的逆映射，從而得到這類空間上粗Baum-Connes猜想一個構造性的證明，從KK-理論和E-理論的角度得到這類空間上更多的幾何與運算元代數的信息。
結題摘要
本項目研究了兩類奇異空間上的運算元代數與指標定理。對於帶有圓錐點的區域，構造出了相應的李群胚，使得區域邊界上伸縮不變的擬微分運算元對應於這個李群胚上的擬微分運算元，利用李群胚的形變理論定義了解析指標。同時也研究了如何定義拓撲指標，遇到了一定的困難。 在可伸縮空間上，試圖去構造(或者明確寫出)在這類空間上Baum-Connes映射(在K-理論層面上)的逆映射，也遇到了一些困難。為了深入研究帶圓錐點區域上的指標定理，本項目利用位勢方法研究了雙位勢運算元在平面多邊形(平面圓錐點區域)上的分析性質。設K是一個平面多邊形上的雙位勢運算元。我們證明了雙位勢運算元K是(根據多邊形邊界構造出來的)李群胚上的(光滑的)擬微分運算元.利用偏微分方程的技巧，證明了位勢函式在多邊形頂點附近的一個漸進展開式。利用這個展開式和李群胚的C*-代數技巧，證明了運算元I+K與-I+K在平面多邊形區域的邊界上某些加權Sobolev空間上是可逆的。從而得到多邊形區域上Laplace方程的Dirichlet問題的可解性。李代數胚是李群胚在單位空間上的向量叢。本項目也對李代數胚進行了一些研究。定義了李雙代數交錯模(Lie bialgebroid crossed module)的概念，建立了李雙代數交錯模與co-quadratic Manin triples之間的一一對應關係。同時在李理論方面也取得了一些進展。利用結構映射和相容性條件給出了李2-雙代數的一個等價定義。這個定義可以用來驗證兩項的向量空間是不是具有李2-雙代數結構。並且給出了L無窮代數的一個等價定義。
