全等變換

在平面到自身的一一變換下，如果任意線段的長和它的象的長總相等，那么這種變換叫做全等變換，或稱契約變換。

基本介紹

• 中文名：全等變換
• 外文名：Congruent transformation
• 學科：數學
• 別稱：契約變換
• 分類：平移、對稱、旋轉變換
• 相關名詞：平移變換

定義

全等變換有很多種，常見的有旋轉、平移、對稱（又叫反射）變換等。

平移變換

平移變換(translation transformation)簡稱平移或直移，歐氏幾何中的一種重要變換，即在歐氏平面上(歐氏空間中)，把每一點按照已知向量A的方向移到P，如此產生的變換稱為平面上(空間中)沿向量A的平移變換，簡稱平移。

.平移是第一種正交變換。平移變換的逆變換也是平移變換，兩個平移變換的乘積仍是平移變換。所有平移變換的全體構成一個群，稱為平移群。平移變換的概念可以推廣到n維歐氏空間。

對稱變換

定義

若一個平面圖形K在平面剛體運動m的作用下仍與原來的圖形重合，就說K具有對稱性，m叫做K的對稱變換。

合成

一個平面圖形的兩個對稱變換a與b的合成（先做變換a，再做變換b）仍然是這個平面圖形的對稱變換，記作b·a。

性質

1、對於任意對稱變換a與恆等變換I，都有a·I=I·a。

2、一般地，平面圖形的對稱變換不滿足交換律（除恆等變換外）。

3、平面圖形的對稱變換滿足結合律。

逆變換

1、若兩個對稱變換a、b滿足a·b=b·a=I，那么b（或a）叫做a（或b）的逆變換，記作a^–1=b（或b^–1=a）。

2、b·a的逆變換是a^–1·b^–1。

多項式的對稱變換

1、如果一個多項式F經過字母的替換仍與原來的多項式相等，那么就說F具有對稱性，上述字母的替換叫做多項式的對稱變換。

2、設一個多項式的下標組成的集合為{1,2,3,…,n}，σ是n元對稱群Sn中的一個置換，如果對多項式的下標進行置換σ後仍與原來的多項式相等，那么置換σ就叫做多項式的對稱變換。

3、如果一個n次多項式的對稱變換是Sn中的全部變換，這樣的多項式叫做對稱多項式。

旋轉變換

定義

歐氏幾何中的一種重要變換。即在歐氏平面上(歐氏空間中)，讓每一點P繞一固定點(固定軸線)旋轉一個定角，變成另一點P′，如此產生的變換稱為平面上(空間中)的旋轉變換。此固定點(固定直線)稱為旋轉中心(旋轉軸)，該定角稱為旋轉角。旋轉是第一種正交變換。

在平面內，把一個圖形繞點O旋轉一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，旋轉的角叫做旋轉角，如果圖形上的點P經過旋轉變為點Pˊ，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點。

性質

①對應點到旋轉中心的距離相等（意味著：旋轉中心在對應點所連線段的垂直平分線上）。

②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角。

③旋轉前、後的圖形全等。

旋轉三要素：

①旋轉中心；

②旋轉方向；

③旋轉角度。

注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣。

旋轉變換的作圖：①確定旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度；②找出能確定圖形的關鍵點；③連結圖形的關鍵點與旋轉中心，並按旋轉的方向分別將它們旋轉一個角，得到此關鍵點的對應點；④按原圖形的順序連結這些對應點，所得圖形就是旋轉後的圖形。

全等變換的性質

1、在全等變換下，直線變為直線，線段變為線段，射線變為射線；兩直線的平行性、垂直性，所成的角度都不變；共線點變為共線點，且保持順序關係不變；直線上A、B、C三點的簡比AC：BC不變。

2、在全等變換下，三角形、多邊形和圓分別變為與它們全等的三角形、多邊形和圓；封閉圖形的面積不變。