光學定理

光學定理表明了積分散射截面與散射振幅f(0)之間的關係。光學定理也可以視為入射波與散射波互相干涉的結果。

基本介紹

• 中文名：光學定理
• 外文名：optical theorem
• 領域：量子力學
• 涉及：入射波，散射波
• 特殊條件：散射角為0
• 表明：散射截面與散射振幅之間的關係

定義

積分散射截面 與散射角 時的散射振幅f(0)之間滿足如下關係

式中，k為入射波矢量的絕對值；符號 表示對其後面的複數取虛部。

證明過程

由於下面只用到躍遷算符中的 ，故將其簡記為 ，若令 與 分別表示入射與散射波的波矢量，則散射矩陣元與躍遷矩陣之間的關係式 可以寫成

式中的 表示算符 的厄米共軛算符 的矩陣元， 的含意與其類似。

由散射算符的么正性可知

在算符 與 之間插入中間態波矢量 的封閉關係，於是得到

將式 代入上式，整理後得到

消去上式兩端的 ，稍加整理後得到

再消去上式兩端的共同因子 ，上式可簡化成

特別是，當散射角 ，即 時，上式變成

由 及複數的性質可知

將上式代入式 ，得到

由躍遷理論的黃金規則可知，在單位時間內，由初態 到中間態 的躍遷機率密度為

應該特別指出的是，上述公式與正常的黃金規則相差一個 的因子，原因是兩者所選用的規格化常數不同。

比較式 與式 ，得到

式中， 是單位時間內從初態I 到所有中間態 的躍遷機率之和，它與積分散射截面的關係為

其中 是入射粒子流強度，它的表達式已給出，即 。將上式代入式 ，得到

由散射振幅與躍遷算符矩陣元的以上關係式可知，散射振幅為

若設粒子沿z軸正方向入射，則散射振幅與 角無關，特別是，當粒子的散射角 時，要求 ，於是，上式可以簡化成

將上式兩端取其虛部後，得到

將上式與式 比較，得到

式中， 為人射波矢量的絕對值。證畢。

含義

光學定理表示向前散射振幅與總截面之問的關係，從物理上講是容易理解的，因為發生散射時入射波帶來的能量必然有一部分沿不同方向傳播出去，即有部分能量從入射波中移出去，即入射波方向的散射振幅減弱，因而 。