傅汝蘭尼積分

傅汝蘭尼積分(Frullani integral)是一種特殊的含參變數的廣義積分。傅汝蘭尼積分公式是一種常見的積分公式，在計算廣義積分時，有時可以化為Frullani積分，另外還有Euler積分、Dirichlet積分和Laplace積分等。

基本介紹

• 中文名：傅汝蘭尼積分
• 外文名：Frullani integral
• 所屬學科：數學（數學分析）
• 簡介：一種特殊的含參變數的廣義積分

基本介紹

傅汝蘭尼積分是一種特殊的含參變數的廣義積分，形如

的廣義積分，其中f在(0，+∞)上連續。可精確計算的情形有：

1.當f(0+)∈R， f(x)=f(+∞)∈R時，積分值為(f(0+)-f(+∞))ln(b/a)。

2.當f(0+)∈R，且存在A≥0，使

收斂時，積分值為f(0+)ln(b/a)；

3.當f(+∞)∈R，且存在A>0，使

收斂時，積分值為f(+∞)ln(b/a)。

傅汝蘭尼積分的證明

定理1 設 是定義在閉區間 的(二變數的)連續函式，讓 ，此時，下列性質成立。

(i)F在 上連續。

(ii)

(iii)偏導函式 如在D連續，則F在[a，b]可微分而且

（以上定理的證明請參考相應文獻）

Frullani的積分 f是 上的連續函式，若對任意的 存在，則

稱此為Frullani的積分。

證明對任意α

同理

所以

現令 ，在D的各點(x，α)研究與它對應的實數值f(αx)/x的函式，這個函式在閉區間D是連續的。因此，根據以上定理的(i)，由

所定義的函式F在[0，1)連續。故

即

這樣， 時，(1)的左邊收斂，且