偽球面

在幾何學中,偽球面用於描述具有恆定負高斯曲率的各種表面。 根據套用環境,它可以指恆定負曲率的理論表面,如牽引曲線或雙曲面。

偽球面是由?>曳物線(tractrix)繞其漸近線旋轉而形成的迴轉曲面。這種曲面的全曲率在每一點都是常數且是負的。位於此曲面上的直線與平行公設不一致,因而構造這種曲面的可能性為非歐幾何學提供了相對相容性的證明。

基本介紹

  • 中文名:偽球面
  • 外文名:Pseudosphere
  • 領域:幾何學
  • 特徵:具有恆定負高斯曲率
  • 成因:曳物線其漸近線旋轉
  • 實例:牽引曲線、雙曲面
簡介,理論偽球面,Tractricoid,通用覆蓋空間,雙曲面,

簡介

在幾何學中,偽球面用於描述具有恆定負高斯曲率的各種表面。 根據套用環境,它可以指恆定負曲率的理論表面,如牽引曲線或雙曲面
偽球面
偽球面是由曳物線(tractrix)繞其漸近線旋轉而形成的迴轉曲面。這種曲面的全曲率在每一點都是常數且是負的。位於此曲面上的直線與平行公設不一致,因而構造這種曲面的可能性為非歐幾何學提供了相對相容性的證明。

理論偽球面

一般認為,半徑為R的偽球體的曲率均為
,這類似於半徑為R的球體,其曲率為
類似。 該術語由Eugenio Beltrami在1868年發表的有關雙曲線幾何模型的論文中有所介紹。

Tractricoid

該術語也用於指某特定表面的一種,即Tractricoid表面:一種關於其漸近線旋轉的結果。例如(半)假球(半徑為1)是輪廓被參數化的表面,
偽球面
它是一個奇異的空間(赤道是一個奇點),但是遠離奇異點,它具有恆定的負高斯曲率,因此在雙曲面上是局部等長的。
之所以叫做為球面是因為它是一個恆定的負曲率的二維表面,就像具有正高斯曲率的球體一樣。 正如球體在每一點上都是圓頂的正彎曲幾何形狀一樣,整個假球體在每一點都具有鞍座的負彎曲幾何形狀。
早在1693年,Christiaan惠更斯發現,儘管沿著旋轉軸線的形狀是無限大的程度,假球的體積和表面積是有限的。 對於給定的邊緣半徑R,面積為4π
,就像球體一樣,而體積是
,因此是該半徑球體的一半。

通用覆蓋空間

彎曲半空間由y≥1的雙曲上半平面的部分覆蓋。覆蓋圖在周期2π的x方向上是周期性的,並且對於產生偽球的軌道,將偽圈的經線和垂直測地線x = c的環繞y = c。 該映射是局部等值線,因此表現出上半平面的y≥1作為偽球的通用覆蓋空間。精確的映射是,
偽球面
此時,
偽球面
是上面的系統的參數化

雙曲面

在使用雙曲面模型的一些來源中,雙曲面被稱為偽球。這個詞的使用是因為雙曲面可以被認為是虛擬半徑的球體,嵌入在閔可夫斯基空間中。

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