倍弦（multiple chord ）是平面幾何術語，是與相交圓有關的的一種特殊弦，過兩圓交點的直線被兩圓截得的部分叫做倍弦。
基本介紹
- 中文名：倍弦
- 外文名：multiple chord
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何（圓）
基本介紹,倍弦的作圖,
基本介紹
倍弦是一種特殊弦，指與相交兩圓有特定位置關係的線段。如圖1所示，若兩圓相交，過一交點引直線與兩圓再交於此交點的兩側，則所交兩點間的線段(CD)稱為倍弦。
圖1
倍弦的作圖
【例1】已知圓O和圓O'相交於A，過A作直線與圓O、圓O'相交於B、C，使AB+AC=m(m為已知長)。
解：分析 (i) 設B、C在點A的異側，所求直線BAC已作出，過O、O'作BC的垂線OE、O'F，則E、F各為AB、AC的中點。所以EF=1/2BC=m/2。又過O作O'F的垂線OM，則OM=EF=m/2。
因此可作圖2如下。
作圖 以OO'為斜邊作直角三角形OMO'，使OM=m/2，過A作OM的平行線與兩圓相交於B、C，則直線BAC為所求的直線。
圖2
證明 過O、O'作BC的垂線OE、O'F，其垂足為B、F，則EFMO為矩形。因EF=OM=m/2，且E、F為AB、AC的中點，所以EF=1/2BC，BC=2EF=m。
討論 要使本題成立，必須OO'不小於OM，即
，因此時，一般有兩解；
吋，有一解；
時，無解。
(ii) B、C在A的同側時，用迴轉法作圖，延長O'A，取AO"=O'A，以O"カ圓心、O"A労半徑作圓，對於圓O和圓O“作倍弦BAC'，使AB+AC'=m，延長C'A與圓O'相交於C，則ACB為所求直線。因為圓O'和圓O"是相交於A的等圓，所以AC=AC'，AB+AC=AB+AC'=m。
圖3
【例2】在上題中，使AB和AC的差等於已知長。
解 分析 (i)若B、C在點A同側，設符合條件的線段ABC已作出。過O、O'作AC的垂線OF、O'E，則
AE=1/2AC，AF=1/2AB，所以EF=1/2(AB-AC)=m/2，過O'作OF的延長線的垂線O'G，則OG=EF=m/2，因此直角三角形OO'G可定。
作圖 以OO'為斜邊作直角三角形OO'G，使O'G=m/2(或OG=m/2)。過A作O'G的平行線與圓O、O'相交於B、C，則ABC即為所求作的直線。
圖4
證明討論略。
(ii) 若B、C在A的異側，先作圓O'關於點A的對稱圓O”，然後以兩圓O、O"代替兩圓O、O'，按上題作圖，倍弦即可確定。
別解 設AC-AB=m，過OO'的中點E作BC的垂線EF，設AB、AC的中點分別為P、Q，則AQ=1/2AC，AP=1/2AB，AQ-AP=1/2(AC-AB)=m/2，又E為OO'的中點，F為PQ的中點，所以AF=1/2(AQ-AP)=m/4。
因此可作圖如下。
圖5
作圖 設OO'的中點為E，以AE為直徑作半圓，在半圓上求點F，使AF=m/4，則割線BAFC即為所求直線。
【例3】已知圓O和圓O'相切於點B，過B作直線與兩圓相交於E、F，使EF等於已知長l。
解 作圖 設兩圓連心線00'的延長線與兩圓相交於A、C，以C為圓心，l為半徑作圓。過A作圓的切線AD，過兩圓的切點B作EF//CD，與兩圓相交於E、F，則直線EF內所求直線。
圖6
證明 ∠AEB和∠BFC都是半圓周角，所以都是直角。因此BFCD為矩形，EE=CD=l，EE即內所求的直線。
