佩龍積分

簡介

佩龍積分是勒貝格積分的推廣，一種非絕對積分。

佩龍(Perron , O.)於1914年在當儒瓦(Denjoy,A.)建立狹義當儒瓦積分後，定義的另一類型的積分。

哈克(Hake , H.)於1921年證明了狹義當儒瓦可積的函式必是佩龍可積的，且積分值相等。

亞歷山德羅夫(Anexcafippos, II. C.)與羅曼(Looman,H.)於1924年各自獨立地證明了佩龍可積的函式必是狹義當儒瓦可積的，且積分值相等。

設f(x)是定義在[a,b]上的函式，若：

1、它至少有一個上函式U(x)及一個下函式V(x)；

2、所有上函式U(x)在x=b的數值所成之集{U(b)}的下確界與所有下函式V(x)在同一點的數值所成之集{V(b)}的上確界相等，即

，則稱f(x)在[a,b]上依佩龍意義可積，簡稱(P)可積，並將上述上、下確界的共同值稱為f(x)在[a,b]上的佩龍積分。

若函式f(x)在[a,b]上依勒貝格意義可積，則它在[a,b]上依佩龍意義可積，且兩積分相等：

所有非負且(P)可積的函式一定(L)可積；若f(x)為(L)可測函式，且存在著佩龍積分

，則f(x)是勒貝格可積的。

因佩龍積分與狹義當儒瓦積分、亨斯托克積分等價，上述關係也就給出了狹義當儒瓦積分、亨斯托克積分與勒貝格積分的關係。