伯克霍夫定理

原始描述為是引力真空場方程的球對稱解必靜態。最早由伯克霍夫（Birkhoff）提出。如果球對稱的引力源不是靜止而是在徑向運動，且在運動過程中保持球對稱性，此時伯克霍夫定理表明，它的外引力場仍可以用史瓦西解描述。

基本介紹

• 中文名：伯克霍夫定理
• 外文名：Birkhoff's Theorem
• 原始表述：引力真空場方程的球對稱解必靜態
• 提出者：伯克霍夫
• 套用：天體物理
• 理論基礎：廣義相對論

定理內容

引力真空場方程的球對稱解必靜態。

定理推導

靜態球對稱線元如果取消靜態條件線元表達式就會十分複雜，例如交叉項 非零，但可以通過適當的坐標變換把線元的形式變成和靜態的區別在於 和 前面的待定函式要從一元函式變為二元函式。通過不算太複雜的計算仍然得到史瓦西解。下面來作簡單證明。

這種情況下，可以證明其度規場總能化成

其中兩個未知的函式

應該要由真空場方程 解出.

這種情況下 和 不為零.因此克里斯多夫聯絡多出三個不為零的分量

其中 和 表示 和 對 的微商或者說導數，是牛頓的點記號.相應算出里契張量的分量 和 不變，但 和 添加了附加的項：

這裡用的“ ”是代表原來的項.此外，里契張量多了一個非零分量

又從場方程 導出

它說明 仍然是 的函式. 時代回 和 式， 和 中的附加項全部消失，從而場方程回復到

其中， 和 分別表示其對 的微商或者說導數.

上面的三個方程是 和 聯立的微分方程組，這三個方程只有兩個是獨立的，那是因為愛因斯坦張量必須滿足畢安基恆等式

的後果.

很容易解出

此時， 可以是 的任意函式，

再同樣算下去，得到的解是

這與史瓦西解的差別僅在第一個項多了一個.然而當我們對時間變數作如下變換

之後，就回到了史瓦西解，也就回到了定理內容所描述的引力真空場方程的球對稱解必靜態。即伯克霍夫定理得證.

意義

定理的推導並不複雜，在相對論的基礎上所建立的許多成果都十分簡潔。伯克霍夫定理是個強有力的定理，他斷定非靜態物質分布只要保持球對稱性，即使是急劇收縮，膨脹，徑向震盪甚至爆炸，外部時空就仍由史瓦西度規來描述，這為研究星體演化提供了很大方便。

它的意義在於指明了史瓦西解描述的是一個球對稱的外引力場，但是這個引力源不用必須靜止.這就說明如果我們觀測的一個史瓦西引力場，我們便無法判斷它的源是一個穩定的恆星，還是一個收縮的、膨脹的或者振盪的恆星。

作為定理的推廣，有如下結論：一個球對稱質量分布在其中心的球形空腔中不產生引力場。這一結論在牛頓的引力理論中是顯然成立的：利用函式的唯一性定理可以證明，一個均勻的球殼在其內部所產生的勢是常數。

定理的推導並不複雜，在相對論的基礎上所建立的許多理論都十分簡潔。